Вершины пирамиды находятся в точках A B

Уравнение плоскостей (ABC), (ABD);
Если точки ABC не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость определяется уравнением
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Найдем плоскость АВС
x-2y-4z-1-3-2-2-44-13-25-4-2-1=0
x-2y-4z-1-5-6311-3=0
18(x-2)+3(y-4)-5(z-1)+6(z-1)-3(x-2)-15(y-4)=15(x-2)-12(y-4)+(z-1)=
=15x-30-12y+48+z-1=15x-12y+z+17=0
ABC : 15x-12y+z+17=0
Найдем плоскость АВD
x-2y-4z-1-3-2-2-44-14-22-4-3-1=0
x-2y-4z-1-5-632-2-4=0
24(x-2)+6(y-4)+10(z-1)+12(z-1)+6(x-2)-20(y-4)=30(x-2)-14(y-4)+22(z-1)=
=30x-60-14y+56+22z-22=30x-14y+22z-26=0
ABD : 30x-14y+22z-26=0
Угол между плоскостями (ABC),(ABD);
Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами этих плоскостей . Косинус этого угла можем найти по формуле
cosφ=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C22
Нормальный вектор плоскости ABC =(15;-12;1)
Нормальный вектор плоскости ABD =(30;-14;22)
cosφ=15*30+-12*-14+1*22152+(-12)2+12302+(-14)2+222=64019.235*39.749
cos(φ)=0.837
Найдем угол
φ=arcos(0.837)≈3.170
3 Угол между прямой AD и плоскостью (ABC)
Найдем уравнение прямой AD
x-24-2=y-42-4=z-1-3-1
x-22=y-4-2=z-1-4
Направляющий вектор прямой имеет вид s=(2;-2;-4)
Вектор нормали плоскости имеет вид q=(15;-12;1)
Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью
sinφ=sqsq=2*15+-12*-2+-4*1152+(-12)2+12*22+(-2)2+(-4)2=508880
Sinφ≈0.53
φ=arcsin(0.53)≈32.050
4 Уравнение высоты пирамиды ABCD
Опустим высоту из точки D