Вершины пирамиды находятся в точках А(4 1

Найдем длину ребра АD:
АD=хD-хА2+уD-уА2+уD-уА2=
=(5-4)2+(-1-1)2+(2-0)2=1+4+4=9=3
2) Угол между ребрами АВ и АD равен углу между векторами АВ и АD. Найдем координаты этих векторов:
АВ=хВ-хА, уВ-уА, zВ-zА=4-4,1-1,3-0=0,0,3
АD=хD-хА, уD-уА, zD-zА=5-4, -1-1,2-0=1,-2, 2
Найдем косинус угла φ между ребрами АВ и АD по формуле:
cosφ=АВ∙АDАВ∙АD=0∙1+0∙-2+3∙202+02+32∙12+-22+22=
=69∙9=69=23
Найдем синус угла
sinφ=1-cos2φ=1-232=1-49=59=53
3) Найдем площадь грани АВС по формуле:
S∆ABC=12∙AB×AC
Вектор AC=4-4, -1-1, 1-0=0, -2, 1
Тогда
AB×AC=ijk0030-21=i0∙1—2∙3-j0∙1-0∙3+
+k0∙-2-0∙0=6i
Тогда
S∆ABC=12∙AB×AC=12∙62+02+02=62=3
4) Объем пирамиды найдем по формуле:
V=16∙AB∙AC∙АD
Найдем смешанное произведение
AB∙AC∙АD=0030-211-22=0∙-21-22-0∙0112+3∙0-21-2=
=3∙0--2=6
Тогда
V=16∙6=1
5) Найдем уравнение прямой АВ по формуле:
x-xАxВ-xА=y-yАyВ-yА=z-zАzВ-zА
x-44-4=y-11-1=z-03-0
x-40=y-10=z-03- уравнение прямой АВ
6) Найдем уравнение плоскости АВС по формуле:
x-xАy-yАz-zАxВ-xАyВ-yАzВ-zАxС-xАyС-yАzС-zА=0
Тогда
x-4y-1z-04-41-13-04-4-1-11-0=x-4y-1z0030-21=
=x-40∙1--2∙3-y-10∙1-0∙3+z0∙-2-0∙0=
=6x-4=6x-24=0
6x-24=0 или x-4=0 - уравнение плоскости АВС.
7) Угол между ребром АВ и гранью АВС найдем по формуле:
sinβ=АВ∙nАВ∙n=0∙1+0∙0+3∙002+02+32∙12+02+02=0
sinβ=0⇒β=arcsin0=0°
8) Найдем уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.
Так как высота DН перпендикулярна плоскости АВС, в качестве ее направляющего вектора можно выбрать вектор нормали n1, 0, 0.Так как прямая проходит через точку D, ее каноническое уравнение принимает вид:
x-xDn1=y-yDn2=z-zDn3,
x-51=y+10=z-20- уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС