В тетраэдре ABCD точки М N и К расположены на ребрах AB

Обозначим координаты точек xI, yI, zI, I = {A, B, C,D,M.K,N}.
Тогда точки М, N и К имеют координаты
xM= xA+xB2, yM= yA+yD2, zM=zA+zD2,
xN= xA+3xC4, yN= yA+3yC4, zN= zB+3zC4,
xK= 2xA+xD3, yK= 2yA+yD3, zN= 2zB+zD3.
Найдем координаты векторов p, q, r.
p = (xK – xB, yK – yB, zK – zB) = 2xA-3xB+xD3,2yA-3yB+yD3,2zA-3zB+zD3,
q = (xM – xC, yM – yC, zM – zC) = xA+xB-2xC2,yA+yB-2yC2,zA+zB-2zC2,
r = (xN – xD, yN – yD, zN – zD) = xA+3xC-4xD4,yA+3yC-4yD4,zA+3zC-4zD4.
Исследуем векторы p, q, r на компланарность, для этого составим
определитель из компонент векторов. Определитель не равен нулю, так
как строки не пропорциональны.
2xA-3xB+xD32yA-3yB+yD32zA-3zB+zD32xA+xB-2xC22yA+yB-2xC22zA+zB-2zC2xA+3xC-4xD4yA+3yC-4yD4zA+3zC-4zD4
Разложим по векторам p, q, r вектор ВС . Вектор ВС равен (xC – xB, yC – yB,
zC - zB).
Составим систему уравнений.
2xA-3xB+xD32xA+xB-2xC2xA+3xC-4xD42yA-3yB+yD32yA+yB-2xC2yA+3yC-4yD42zA-3zB+zD32 zA+zB-2zD4zA+3zC-4zD4αβγ=xC-xByC-yBzC-zB
Коэффициенты α, β, γ представляют собой коэффициенты разложения
вектора ВС по базису p, q, r.
Найдем решение системы по формулам Крамера.
∆=2xA-3xB+xD32xA+xB-2xC2xA+3xC-4xD42yA-3yB+yD32yA+yB-2xC2yA+3yC-4yD42zA-3zB+zD32 zA+zB-2zD4zA+3zC-4zD4 =
= 54 xAxBxC-54 xAyCzB-54 xByA zC+54xByCzA+54xCyAzB-54xCyBzA-
-118xAyBzD+118xAyDzB+118xByAzD-118xByDzA-118xDyAzB+118xDyBzA+ +xAyCzD-xAyDzC-xCyAzD+xCyDzA+xDyAzC-xDyCzA-78xByCzD+
+78xByDzC+78xCyBzD-78xCyDzB-78xDyBzC+78xDyCzB.
∆1=xC-xB2xA+xB-2xC2xA+3xC-4xD4yC-yB2yA+yB-2xC2yA+3yC-4yD4zC-zB2 zA+zB-2zD4zA+3zC-4zD4 =
=78xAyBzC-78xAyCzB-78 xByAzC+78xByCzB+78xCyAzB-78xCyBzC-
-xAyBzD+xAyDzB+xByAzD-xByDzA+xDyBzA+xAyCzD-
-xAyDzC-xCyAzD+xCyDzA+xDyAzC-xDyCzA-12xByCzD+
+1 2xByDzC+12xCyBzD-12xCyDzB-12xDyBzC+12xDyCzB.
∆2=2xA-3xB+xD3xC-xBxA+3xC-4xD42yA-3yB+yD3yC-yByA+3yC-4yD42zA-3zB+zD3zC-yBzA+3zC-4zD4 =
=34xAyCzB-34xAyBzB+34xByAzA-34xByCzA-34xCyAzB+
+34xCyBzA+34xAyBzD-34xAyBzD-34xAyDzB-34xByAzD+
+3 4xByDzA+34xDyAzB-34xDyBzA-34xAyCzD+34xAyDzC+
+34xCyAzD-34xCyDzA-34xCyDzA-34xDyAzC+34xDyCzA-
-34xByCzD+34xByCzD-34xByDzC-34xCyByD+34xCyDzB+
+34xDyBxC-34xDyCzB-34xDyAzC+34xDyCzA+34xByCzD-
-34xByDzC-34xCyBzD+34xCyDzB+34xCyDzB+34xDyDzB-
-34xByDzC-34xCyBzD+34xCyDzB+34xDyBzC-34xDyCzB