В таблице приводятся данные о балансе денежных расходов населения (оплата бытовых услуг) и балансе денежных доходов населения (пенсии) в Российской Федерации за 2000 – 2014 гг.
y – Баланс денежных доходов населения Российской Федерации – пенсии, (млрд.руб.)
х – Баланс денежных расходов населения Российской Федерации – оплата бытовых услуг, (млрд.руб.)
Источник данных: Федеральная служба государственной статистики РФ, gks.ru ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
п/п n 1 2 3 4 5 6 7 8
t, 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
y, 360,56 533,81 722,55 879,94 1059,42 1254,64 1437,79 1669,03
х, 86,51 108,11 126,87 152,58 188,45 228,68 277,87 330,83
п/п n 9 10 11 12 13 14 15
t, 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2 014
y, 2282,34 2825,85 3987,22 4415,55 5078,68 5849,68 2282,34
х, 405,72 446,59 487,18 533,29 595,03 749,52 405,72
Требуется:
Провести эконометрический анализ данных на основе ряда динамики.
Рассчитать характеристики показателя: средний уровень ряда динамики, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.
Построить уравнение тренда.
Оценить качество уравнения тренда в целом (анализ остатков).
Выполнить прогноз показателя на следующий период времени несколькими способами.
Сформулировать общие выводы по результатам проведения эконометрического анализа на основе ряда динамики.
Провести эконометрический анализ данных на основе регрессионной модели:
Выполнить анализ исходных данных.
Построить модель регрессии.
Провести анализ качества модели регрессии (анализ остатков по критерию Дарбина-Уотсона).
Выполнить корреляционный анализ данных.
Провести статистический анализ параметров модели.
Оценить качество модели в целом по коэффициенту детерминации.
Выполнить прогноз результирующего показателя на следующий период времени.
Сформулировать общие выводы по результатам проведения регрессионного анализа.
Решение
Эконометрический анализ данных на основе ряда динамики.
Расчет характеристик показателя: средний уровень, дисперсия, среднее квадратическое отклонение
Для определения характеристик показателя баланс денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии) используются соответствующие функции табличного процессора MSExcel:
средний уровень – СРЗНАЧ,
дисперсия – ДИСПР,
среднее квадратическое отклонение –СТАНДОТКЛОН.
Выводы:
средний уровень –= 368,185;
дисперсия – 50010,376,
среднее квадратическое отклонение –223,630 .
Построение уравнения тренда:
2.1. Анализ исходных данных
Построим график зависимости y(t) (рис. 1)
Рис. 1 График динамики баланса денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии)
Выводы: Графический анализ исходных данных показывает, что для построения уравнения тренда может быть использована функция линейная, которая может быть описана уравнением прямой:
y(t) = a0 + a1t.
2.2. Построение уравнения тренда y(t):
В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) для определения параметров a0 и a1 решим систему уравнений:
na0 + a1t = y
a0t + a1t2= ty
Для удобства вычислений параметров системы уравнений примем условное обозначение ∑t=0 и составим таблицу1.
Таблица 1.
n t y t2 ty
1 -7 86,51 49 -605,57
2 -6 108,11 36 -648,66
3 -5 126,87 25 -634,35
4 -4 152,58 16 -610,32
5 -3 188,45 9 -565,35
6 -2 228,68 4 -457,36
7 -1 277,87 1 -277,87
8 0 330,83 0 0
9 1 405,72 1 405,72
10 2 446,59 4 893,18
11 3 487,18 9 1461,54
12 4 533,29 16 2133,16
13 5 595,03 25 2975,15
14 6 749,52 36 4497,12
15 7 805,55 49 5638,85
Сумма t =0 y =5522,78 t2=280 ty =14205,24
Исходя из табл. 1, система уравнений c численными значениями примет вид:
15∙a0 + 0∙a1 = 5522,78
0∙a0 + 280∙a1 = 14205,24
При Σt=0
a0 = 368,19,
a1 = 50,73.
Вывод:Уравнение тренда с численными оценками коэффициентов имеет вид:
= 368,19 + 50,73∙t.
Проверка качества уравнения тренда с помощью анализа остатков.
Проверим качество полученного уравнения на основе оценки средней относительной ошибки:
,
где yi – фактические значения показателя;
– теоретические значения показателя, рассчитанные по уравнению тренда.
Промежуточные расчеты отразим в таблице 2:
n yi
- yi - yi/yi
1 86,51 13,054 73,456 0,849
2 108,11 63,787 44,323 0,410
3 126,87 114,52 12,350 0,097
4 152,58 165,25 12,673 0,083
5 188,45 215,986 27,536 0,146
6 228,68 266,719 38,039 0,166
7 277,87 317,452 39,582 0,142
8 330,83 368,185 37,355 0,113
9 405,72 418,918 13,198 0,033
10 446,59 469,651 23,061 0,052
11 487,18 520,384 33,204 0,068
12 533,29 571,117 37,827 0,071
13 595,03 621,85 26,820 0,045
14 749,52 672,58 76,937 0,103
15 805,55 723,316 82,234 0,102
сумма y =5522,78 =5522,78 - - yi/yi =2,480
= =16,54% .
Вывод: Относительная ошибка=16,54% значительная. Модель не адекватна.
Общий вывод: Линейное уравнение тренда имеет вид:
y(t) = 368,19 + 50,73∙t.
Качество уравнения не удовлетворительное. Модель не может быть использована для прогноза.
Прогноз показателя на следующий период времени несколькими способами.
Прогнозирование показателей на основе рядов динамики может осуществляться тремя основными методами.
Первый метод заключается в использовании для прогнозирования среднего абсолютного изменения значений элементов ряда, которое определяется по выражению:
где: уi, уi-1 –текущее и предшествующее фактические значения показателя;
n–число элементов исходного ряда;
Общее выражение для прогнозирования по первому методу анализа рядов динамики имеет вид:
где: уn – фактическое значение последнего элемента ряда;
m – число шагов прогноза (на один период вперед – m=1, на два периода – m=2 и т.д.).
Вывод: Ожидаемое значение показателя баланса денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии) для t = n+m=15+1=16 равно856,91 млрд.руб.
Второй метод обеспечивает выполнение прогноза с использованием среднего коэффициента роста исходного ряда по выражению:
кср– средний коэффициент роста ряда динамики;
кi– текущее значение коэффициент роста ряда динамики;
Тогда
Вывод: Ожидаемое значение показателя баланса денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии) для t = n+m=151=16 равно 946,11 млрд.руб.
Третий метод обеспечивает прогнозирование значений показателя на основе уравнения тренда и состоит из следующих основных этапов:
Построение уравнения тренда;
Расчет теоретических значений показателя по уравнению тренда;
Расчет ошибки прогнозирования;
Определение границ прогнозного интервала.
Это задание выполняется на ПЭВМ, с использованием функций табличного процессора MSExcel:
Для вывода уравнения тренда используется группа функций «Статистические», функция «ЛИНЕЙН».
50,733 368,1853
2,845915 12,29576
0,9607 47,62126
317,7879 13
720674,4 29481,2
Расчет теоретических значений показателя по уравнению тренда и определение остатков:
Таблица 3
n yi
- yi
(- yi)2
1 86,51 13,054 73,45567 5395,73497
2 108,11 63,787 44,32267 1964,49878
3 126,87 114,520 12,34967 152,514267
4 152,58 165,253 -12,6733 160,613378
5 188,45 215,986 -27,5363 758,249653
6 228,68 266,719 -38,0393 1446,99088
7 277,87 317,452 -39,5823 1566,76111
8 330,83 368,185 -37,3553 1395,42093
9 405,72 418,918 -13,1983 174,196003
10 446,59 469,651 -23,0613 531,825095
11 487,18 520,384 -33,2043 1102,52775
12 533,29 571,117 -37,8273 1430,90715
13 595,03 621,850 -26,8203 719,33028
14 749,52 672,583 76,93667 5919,25068
15 805,55 723,316 82,23367 6762,37593
сумма y =5522,78 =5522,78 - (- yi)2=29481,20
Ошибка прогнозирования – εt определяется по формуле:
ε=tασε
где: tα= f(n-m; ΔP)– табличное значение критерия Стьюдента;
n-m –число степеней свободы;
n–число элементов исходного ряда динамики;
m–число параметров уравнения тренда;
ΔP= 0,05 (5%)– принятый уровень значимости вероятности.
σε– стандартное отклонение ошибки,
σε =
Для определения табличного значения критерия Стьюдента используется группа функций «Статистические», функция СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х (для MS Excel–2016; в зависимости от года MS Excel название функции может немного меняться).
tα= f(15-2; 0,05)=2,16
Определение границ прогнозного интервала, на котором будет находится прогнозное значение величины с вероятностью P=0,95:
.
Вывод: Прогнозное значение показателя баланса денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии) для периода времени t=8 будет находиться в пределах от 747,49 до 800,61 млрд.руб
. с вероятностью Р=0,95.
III. Общие выводы по результатам проведенного эконометрического анализа
Характеристика ряда динамики.
Графический анализ исходных данных показывает, что для построения уравнения тренда может быть использована функция линейная, которая может быть описана уравнением прямой
Оценка уравнения тренда.
Уравнение тренда с численными оценками коэффициентов имеет вид:
= 368,19 + 50,73∙t.
Качество уравнения не удовлетворительное. Модель не может быть использована для прогноза.
Основная тенденция изменения показателя во времени.
С ростом фактора времени на 1 год баланс денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии) возрастает в среднем на 50,73 млрд.руб.
Прогнозный интервал показателя.
Прогнозное значение показателя баланса денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии) для периода времени t=8 будет находиться в пределах от 747,49 до 800,61 млрд.руб. с вероятностью Р=0,95.
Эконометрический анализ данных на основе регрессионной модели:
Анализ исходных данных
Построим графики зависимостей x(t), y(t), y(x) (рис. 2-4):
Рис. 2 График динамики баланса денежных расходов населения Российской Федерации (оплата бытовых услуг)
Рис. 3 График динамики баланса денежных доходов населения Российской Федерации (пенсии)
Рис. 4 График зависимости баланса денежных доходов населения (пенсии) от баланса денежных расходов населения Российской Федерации (оплата бытовых услуг)
Выводы: Графический анализ исходных данных показывает, что для построения модели регрессии может быть использовано уравнение
y(x)= a0 + a1х.
Построение модели регрессии y(x).
В соответствии с методом наименьших квадратов (МНК) для определения параметров a0 и a1 решим систему уравнений:
na0 + a1х = y
a0х + a1х2= хy
Для удобства вычислений параметров системы уравнений составим таблицу
Таблица 4
n х y х2 хy
1 360,56 86,51 130003,5136 31192,0456
2 533,81 108,11 284953,1161 57710,1991
3 722,55 126,87 522078,5025 91669,9185
4 879,94 152,58 774294,4036 134261,2452
5 1059,42 188,45 1122370,736 199647,699
6 1254,64 228,68 1574121,53 286911,0752
7 1437,79 277,87 2067240,084 399518,7073
8 1669,03 330,83 2785661,141 552165,1949
9 2282,34 405,72 5209075,876 925990,9848
10 2825,85 446,59 7985428,223 1261996,352
11 3987,22 487,18 15897923,33 1942493,84
12 4415,55 533,29 19497081,8 2354768,66
13 5078,68 595,03 25792990,54 3021966,96
14 5849,68 749,52 34218756,1 4384452,154
15 6055,53 805,55 36669443,58 4878032,192
=38412,59 =5522,78 =154531422,5 =20522777,23
Исходя из табл
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
