В таблице приведен статистический ряд распределения случайной величины Х

А) Вычислим числовые характеристики выборки: выборочное среднее x; выборочное среднее квадратическое отклонение s; выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса A* и E*; выборочный коэффициент вариации V.
Объем выборки:
n=i=1kni=7+19+45+20+9=100
Т.к. дана группированная выборка, то перейдем к серединам xi* частичных интервалов (табл. 2):
Таблица 2
№ Ji-Ji+1
xi*
ni
1 20,00-20,04 20,02 7
2 20,04-20,08 20,06 19
3 20,08-20,12 20,1 45
4 20,12-20,16 20,14 20
5 20,16-20,20 20,18 9
Выборочное среднее вычислим по формуле:
x=1ni=1knixi*
x=20.02∙7+20.06∙19+20.1∙45+20.14∙20+20.18∙9100=20.102
Для вычисления остальных числовых характеристик предварительно вычислим центральные эмпирические моменты 2, 3 и 4 порядков:
μk=ni(xi*-x)kn (k=2,3,4)
Результаты представлены в табл. 3.
Таблица 3
Частичныеинтервалы
Середины интервалов,
Частоты,
ni
ni(xi*-x)2
ni(xi*-x)3
ni(xi*-x)4
20,00-20,04 20,02 7 0,047068 -0,003859576 0,0003164852
20,04-20,08 20,06 19 0,033516 -0,001407672 0,0000591222
20,08-20,12 20,1 45 0,00018 -0,00000036 0,0000000007
20,12-20,16 20,14 20 0,02888 0,00109744 0,0000417027
20,16-20,20 20,18 9 0,054756 0,004270968 0,0003331355
100 0,1644 0,0001008 0,0007504464
μk
0,001644 0,000001008 0,0000075045
Имеем:
выборочная дисперсия: s2=μ2=0,001644;
выборочное среднее квадратическое отклонение:
s=s2=0,001644≈0,0406
выборочный коэффициент асимметрии:
A*=μ3σ3=0,0000010080,04063≈0,0151
выборочный коэффициент эксцесса:
E*=μ4σ4=0,00000750450,04063≈2,7766
выборочный коэффициент вариации:
V=sx∙100%=0.040620.102∙100%=0.202%
б) Предполагая, что исследуемая случайная величина распределена по нормальному закону, найдем теоретические частоты и проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности с помощью критерия согласия χ2 .
1. Пронормируем частичные интервалы, т.е. т.е. перейдем к случайной величине U=X-xs, и вычислим концы интервалов ui=xi-xs, причем наименьшее значение U, т.е. u1, полагают равным -∞, а наибольшее – равным ∞.
Результаты вычислений сведем в таблицу 4 (столбцы 3, 4).
Таблица 4
Частичныеинтервалы ni
Нормированные интервалы Φ(ui)
Φui+1
Теоретические вероятности
pi
Теорети-ческие частоты
ni'=n∙pi
ui
ui+1
20,00-20,04 7 -∞
-1,5291 -0,5 -0,437 0,063 6,3
20,04-20,08 19 -1,5291 -0,5426 -0,437 -0,2054 0,2316 23,16
20,08-20,12 45 -0,5426 0,4439 -0,2054 0,17 0,3754 37,54
20,12-20,16 20 0,4439 1,4305 0,17 0,4236 0,2536 25,36
20,16-20,20 9 1,4305 ∞
0,4236 0,5 0,0764 7,64
2