В соответствии с данными таблицы 1.1 требуется:
Найти напряжения σφ, σφ+90 и τφ и изобразить их на чертеже, рис.1.2.
Найти главные напряжения σ1, σ2 (σ1>σ2) положение главных площадок (углы наклона нормалей которых равны φ0 и φ0+90°), и показать их на отдельном чертеже.
Найти максимальные касательные напряжения τmax, а также положение площадок, на которых они действуют (под углами 45° к главным площадкам); вычислить нормальные напряжения Ϭ, действующие на этих площадках. Изобразить на отдельном рисунке τmax и Ϭ. Сравнить τmax с заданным пределом прочности при сдвиге τв.
Используя закон Гука при плоском напряженном состоянии, найти линейные - εy, εz и угловую - γzy деформации в данной точке.
Рис. 1.2
Таблица 1.1 - Исходные данные к заданию 1
σz, МПа σy, МПа τzy, МПа φ, градус t, °С Е, ГПа v α∙106, °С-1 τв, МПа Материал
110 100 -90 25 100 137 0,26 11,0 100 Чугун
Нужно полное решение этой работы?
Ответ
σφ=177,2 МПа; σφ+90=32,8 МПа; τφ=-54,0 МПа;
φ0=43,4°; φ0+90°=133,4°;
σ1=σφ0=195,1 МПа, σ2=σφ0+90=14,9 МПа
φ1=88,4°; τmax=90,1 МПа; σφ1=σφ1+90=105 МПа;
εy=1,621∙10-3; εz=1,713∙10-3; G=54,4 ГПа;
γzy=-1,655∙10-3.
Решение
Определение напряжений σφ, σφ+90 и τφ на наклонных площадках. Исходное напряженное состояние показано на рис. 2.
Вычисление напряжений σφ, σφ+90 и τφ.
σφ=12σz+σy+12σz-σycos2φ-τzysin2φ
σφ=12110+100+12110-100cos2∙25°-(-90)sin225°=177,2 МПа
σφ+90=12110+100+12110-100cos2∙25°+90°-(-90)sin225°+90°=32,8 МПа
τφ=12σz-σysin2φ+τzycos2φ=12110-100sin225°+-90cos2∙25°=-54,0 Мпа
Рис. 2
Рис. 3
Площадки, проходящие через данную точку материала, на которых действуют напряжения σφ, σφ+90 и τφ, показаны на рис. 3.
2. Определение главных напряжений σ1, σ2 положения главных площадок.
Вычисление главных напряжений:
σ1,2=12(σz+σy)±12σz-σy2+4τzy212
σ1,2=12110+100±12110-1002+4∙(-90)212=105±90,1
σ1=195,1 МПа, σ2=14,9 МПа (σ1>σ2).
Вычисление углов наклона нормалей главных площадок φ и φ+90°.
tg2φ0=-2τzyσz-σy=2∙90110-100=18
φ0=43,4°; φ0+90°=133,4°;
Соответствие площадок, на которых действуют σ1 и σ2, определяется подстановкой φ0 и φ0+90° в формулу для вычисления σφ.
σφ0=12σz+σy+12σz-σycos2φ0-τzysin2φ0
σφ0=12110+100+12110-100cos2∙43,4°-(-90)∙sin243,4°=195,1 МПа
Получили σφ0=σ1
. Таким образом, на площадке, угол нормали к которой равен φ0 действует напряжение σ1 (рис. 4). Следовательно, на площадке, угол наклона нормали которой равен φ0+90° должно действовать напряжение σ2. Проверим это.
σφ0+90=12σz+σy+12σz-σycos2(φ0+90)-τzysin2(φ0+90)
σφ0+90=12110+100+12110-100cos243,4+90-(-90)sin243,4+90=14,9 МПа
Получили σφ0+90=σ2. Главные напряжения σ1 и σ2 вычислены верно.
Рис. 4
3. Определение максимальных касательных напряжений τmax, соответствующих нормальных напряжений Ϭ и площадок, на которых они действуют. Сравнение τmax с заданным пределом прочности при сдвиге τв.
Вычисление τmax:
τmax=12σ1-σ2=12195,1-14,9=90,1 МПа
Сравним τmax с τв:
для чугуна τmax=90,1 МПа <τв=100 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
