В следующей таблице приведены статистические данные по располагаемому доходу домохозяйств (Х) и затратам домохозяйств на различные покупки (У) за 22 года:
X 9,098 9,137 9,095 9,28 9,23 9,348 9,525 9,755 10,28 10,665 11,02
Y 5,49 5,54 5,305 5,505 5,42 5,32 5,54 5,69 5,87 6,157 6,342
X 11,305 11,43 11,45 11,697 11,87 12,018 12,525 12,055 12,088 12,215 12,495
Y 5,905 6,125 6,185 6,225 6,495 6,72 6,92 6,47 6,395 6,555 6,755
А) Построить корреляционное поле и по его виду определить формулу зависимости между У и Х.
Б) Оценить уравнение регрессии .
В) Оценить качество и значимость построенной модели на 5%-ном уровне.
Г) Провести анализ модели на наличие гетероскедастичности и автокорреляции.
Д) Сделать вывод о качестве построенной модели.
Решение
А) Построим корреляционное поле и по его виду определим формулу зависимости между У и Х. Поле корреляции:
Анализируя полученное изображение поля корреляции можно сделать вывод о том, что имеет место некоторое рассеяние точек относительно прямой линии. Связь умеренная, прямая, с увеличением фактора x результат y в основном увеличивается. Таким образом, зависимость затрат домохозяйств от размера их располагаемого дохода можно описать с помощью линейного уравнения регрессии:
Б) Оценим уравнение регрессии .
В соответствии с методом наименьших квадратов (MHK) параметры a и b линейного уравнения регрессии определяются из системы нормальных уравнений:
Для определения следующих данных: , , , , , составим вспомогательную таблицу.
x y
x2 y2 x • y
9,098 5,49 82,7736 30,1401 49,948
9,137 5,54 83,4848 30,6916 50,619
9,095 5,305 82,719 28,143 48,249
9,28 5,505 86,1184 30,305 51,0864
9,23 5,42 85,1929 29,3764 50,0266
9,348 5,32 87,3851 28,3024 49,7314
9,525 5,54 90,7256 30,6916 52,7685
9,755 5,69 95,16 32,3761 55,506
10,28 5,87 105,6784 34,4569 60,3436
10,665 6,157 113,7422 37,9086 65,6644
11,02 6,342 121,4404 40,221 69,8888
11,305 5,905 127,803 34,869 66,756
11,43 6,125 130,6449 37,5156 70,0088
11,45 6,185 131,1025 38,2542 70,8183
11,697 6,225 136,8198 38,7506 72,8138
11,87 6,495 140,8969 42,185 77,0957
12,018 6,72 144,4323 45,1584 80,761
12,525 6,92 156,8756 47,8864 86,673
12,055 6,47 145,323 41,8609 77,9959
12,088 6,395 146,1197 40,896 77,3028
12,215 6,555 149,2062 42,968 80,0693
12,495 6,755 156,125 45,63 84,4037
Сумма 237,581 132,929 2599,7696 808,5871 1448,5298
Для наших данных система уравнений имеет вид
Домножим уравнение (1) системы на (-10,799), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения
Получаем:
34.133*b = 13.029
Откуда b = 0,3816
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
Уравнение регрессии:
С увеличением располагаемого дохода домохозяйств на 1 ден. ед., затраты домохозяйств увеличивается в среднем на 0,382 ден. ед.
В) Оценим качество и значимость построенной модели на 5%-ном уровне.
Для оценки качества и значимости построим расчетную таблицу:
x y y(x) (yi-ycp)2 (y-y(x))2
9,098 5,49 5,393 0,305 0,00938
9,137 5,54 5,408 0,252 0,0174
9,095 5,305 5,392 0,544 0,00757
9,28 5,505 5,463 0,289 0,0018
9,23 5,42 5,443 0,387 0,000552
9,348 5,32 5,489 0,522 0,0284
9,525 5,54 5,556 0,252 0,000258
9,755 5,69 5,644 0,124 0,00213
10,28 5,87 5,844 0,0297 0,000669
10,665 6,157 5,991 0,0132 0,0275
11,02 6,342 6,127 0,0899 0,0464
11,305 5,905 6,235 0,0188 0,109
11,43 6,125 6,283 0,00685 0,0249
11,45 6,185 6,291 0,0204 0,0111
11,697 6,225 6,385 0,0334 0,0255
11,87 6,495 6,451 0,205 0,00195
12,018 6,72 6,507 0,459 0,0452
12,525 6,92 6,701 0,77 0,0481
12,055 6,47 6,521 0,183 0,00264
12,088 6,395 6,534 0,124 0,0193
12,215 6,555 6,582 0,263 0,000755
12,495 6,755 6,689 0,508 0,00432
Сумма 237,581 132,929 132,929 5,4 0,435
Проверим значимость оценок коэффициентов a и β с надежностью 0,95 с помощью t-статистики Стьюдента и сделаем выводы о значимости этих оценок
.
Оценка значимости коэффициентов регрессии с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки
;
Табличное значение t -критерия для числа степеней свободы df = n − 2= = 22-2=20 и уровня значимости α = 0,05 составит
tкрит (n-m-1;α/2) = (20;0.025) = 2,086
Определим стандартные ошибки. Остаточная дисперсия на одну степень свободы
ma - стандартное отклонение случайной величины a:
mb - стандартное отклонение случайной величины b.
Тогда
Поскольку 7 > 2,086, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Поскольку 15,11 > 2,086, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
С помощью F-критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.
Рассчитаем F-критерий по формуле:
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=20, Fтабл = 4,35
Коэффициент детерминации:
т.е. в 91.94% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая. Остальные 8.06% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).
Тогда
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Г) Проведем анализ модели на наличие гетероскедастичности и автокорреляции.
Критерий Дарбина-Уотсона.
Этот критерий является наиболее известным для обнаружения автокорреляции.
При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei.
y y(x) ei = y-y(x) e2 (ei - ei-1)2
5,49 5,393 0,0969 0,00938
5,54 5,408 0,132 0,0174 0,00123
5,305 5,392 -0,087 0,00757 0,0479
5,505 5,463 0,0424 0,0018 0,0167
5,42 5,443 -0,0235 0,000552 0,00435
5,32 5,489 -0,169 0,0284 0,021
5,54 5,556 -0,0161 0,000258 0,0232
5,69 5,644 0,0462 0,00213 0,00387
5,87 5,844 0,0259 0,000669 0,000413
6,157 5,991 0,166 0,0275 0,0196
6,342 6,127 0,215 0,0464 0,00245
5,905 6,235 -0,33 0,109 0,298
6,125 6,283 -0,158 0,0249 0,0297
6,185 6,291 -0,106 0,0111 0,00274
6,225 6,385 -0,16 0,0255 0,00294
6,495 6,451 0,0442 0,00195 0,0416
6,72 6,507 0,213 0,0452 0,0284
6,92 6,701 0,219 0,0481 4,3E-5
6,47 6,521 -0,0514 0,00264 0,0733
6,395 6,534 -0,139 0,0193 0,00767
6,555 6,582 -0,0275 0,000755 0,0124
6,755 6,689 0,0657 0,00432 0,00868
Сумма
0,435 0,646
Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:
Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n = 22 и количества объясняющих переменных m=1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
