В схеме Бернулли вероятность появления 1 равна p

Обозначим xi- число появления цепочки 00 в i-ом испытании. Рассмотрим от 2 до 5 испытаний и найдем для них математическое ожидание и дисперсию, предварительно записав ряд распределения случайной величины xi:
n
xi
Mx=n
1 2 3 4
2 00 q2
q2
3 001
100 2q2p
000
q3
q22
4 0011
0010
1001
0100
1100 3q2p2+2pq3
1000
0001 2q3p
0000 q4
3q2
5 00111
00110
00101
10011
10010
11001
01001
11100
01100
10100 6q3p2+4q2p3
00100
00010
00011
10001
11000
01000 3q4p+3q3p2
00001
10000 2q4p
00000 q5
4q2
Математическое ожидание будем искать по формуле:
MX=i=1n-1x1pi.
Mn=2=q2;
Mn=3=2q2p+2q3=2q2
Mn=4=3q2p2+6pq3+3q4=3q2p2+2pq3+q4=3pq+q22=3q2;
Mn=5=12q3p2+4q2p3+12q4p+4q5
=4q2p2qp+p2+q2+4q3p2+8q4p+4q5=
=4q2pp+q2+4q3p2+2qp+q2=4q2p+4q3=4q2p+q=4q2;и т.д.
Обобщим для n: Mn=n-1q2.
Дисперсию будем искать по формуле:
DX=MX2-M2X
Dn=2=q2-q4=q21-q2=q2p1+q;
Dn=3=2q2p+4q3-4q4=2q2p+2q-2q2=2q2p+2q1-q=
=2q2p+2pq=2pq21+2q;
Dn=4=3q2p2+2pq3+8q3p+9q4-9q4=3q2p2+10pq3=
=q2p3p+10q=pq23+7q.
n=5:
MX2=6q3p2+4q2p3+12q4p+12q3p2+18q4p+16q5=
=18q3p2+4q2p3+30q4p+16q5.
Dn=5=18q3p2+4q2p3+30q4p+16q5-16q4=
=4q2p2qp+p2+q2+10q3p2+26q4p-16q4=
=4q2p+10q3p2+10q4p=4q2p+10q3p=2q2p2+5q.
Получим:
Dn=2=q2p1+q;
Dn=3=2pq21+2q=2pq21+q+2pq3;
Dn=4=pq23+7q=3pq21+q+4pq3;
Dn=5=2q2p2+5q=4pq21+q+6pq3;и т.д.
Обобщим для n:Dn=n-1pq21+q+2n-2pq3.
Ответ