В шарнирно-параллелограммном механизме с внутренним зацеплением подъем груза D массы 10m происходит за счет постоянного момента M=40mgr, приложенного к кривошипу OA.
Определить скорость груза после того, как кривошип OA повернется из состояния покоя на один оборот, если кривошипы OA и O1B представляют собой однородные стержни длины l=2r и массы m каждый, масса звена AB равна 3m. Блок-шестерня C имеет массу 3m, и радиус инерции относительно собственной оси вращения ρ=2r/3. Кроме того, R=3r и r1=0,5r, Трением в подшипниках пренебречь.
Решение
Дано:
mD=10m
mC=3m
mAB=3m
mOA=mO1B=m
ρ=2r3
OA=O1B=l=2r
R=3r
r1=0,5r
M=40mgr
1. Разберемся, как движется каждый из тел системы.
Кривошипы OA и O1B совершают вращательное движение около осей O и O1. Вращательное движение совершает также блок-шестеренка около оси O2. Груз D движется поступательно и прямолинейно.
Звено AB движется поступательно, криволинейно. Все точки этого звена в любой момент времени движутся одинаково и отрезок, соединяющий любые две точки звена, остается параллельно самому себе.
2. Изобразим действующие на систему внешние активные силы. Это силы тяжести тел P1, P2, P0, PC и PD, а также момент пары сил M (см. рис.); реакции осей O, O1 и O2. Они на рисунке не показаны. Остальные силы (давления в шарнирах A и B, реакции между звеном AB и блоком C в точке L, а также силы сцепления между ними в этой же точке) являются внутренними.
Выражаем скорости всех тел системы через скорость ЦМ груза D.
Пусть скорость груза после того, как кривошип OA повернется из состояния покоя на один оборот, равна v, а его перемещение - s. Тогда
vK=v,
и по модулю
vK=v.
-9086852223135r1
R
C
r
A
B
O
O1
D
O2
M
P1
P2
P0
PC
PD
s
v
K
L
vK
vL
S
vA
vS
U
vB
vU
Траектория точки W-
МЦС звена AB
Траектория точки B
Траектория точки A
W
ωAB
ωAO
ωC
ωBO1
00r1
R
C
r
A
B
O
O1
D
O2
M
P1
P2
P0
PC
PD
s
v
K
L
vK
vL
S
vA
vS
U
vB
vU
Траектория точки W-
МЦС звена AB
Траектория точки B
Траектория точки A
W
ωAB
ωAO
ωC
ωBO1
Угловая скорость вращения блока C
ωC=vKr1=2vr.
Скорость точки L:
vL=ωCr=2v.
Точка L является точкой сцепления между блоком C и звеном AB, следовательно, точка L звена AB также имеет скорость vL=2v.
Дальше, все точки звена AB движутся одинаково, в том числе и точки A и B
. Точки A и B движутся по окружности радиуса l=2r, следовательно, и все остальные точки (в том числе его центр масс W и точка L) вращаются по окружности радиуса l=2r, но около разных осей. У каждой точки звена AB своя ось вращения.
Угловая скорость звена AB
ω0=vLl=2v2r=vr.
Скорость точек A и B одинакова и рана vA=vB=vL=2v.
Скорости ЦМ S и T кривошипов равны соответственно
vS=vT=vA2=v.
3. Определим кинетическую энергию системы.
Конечная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех частей системы:
T=TD+TAB+TC+TAO+TBO1. (1)
Тело D движется поступательно и прямолинейно, следовательно, его кинетическая энергия равна
TD=12mDv2=5mv2,
TD=5mv2, (2)
Кинетическая энергия звена AB также можем определить, как энергию поступательного движения его ЦМ:
TAB=12mABvL2=12∙3m∙2v2=6mv2;
TAB=6mv2. (3)
Тело C вращается вокруг неподвижной оси O2, поэтому его кинетическая энергия состоит только из энергии вращательного движения, и определяется по формуле
TC=12JCωC2,
где JC=mCρ2- момент инерции (по условию mC=3m; ρ=2r/3); ωC- его угловая скорость.
TC=12∙mCρ2∙2vr2=12∙3m∙2r32∙2vr2=83mv2.
TC=83mv2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
