В сегмент окружности радиуса R с центральным углом α (α&lt,тт)

1) Из соображения симметрии ясно, что точка касания D вписанных окружностей лежит на биссектрисе OE угла AOB, которая является также высотой и медианой равнобедренного треугольника AOB, проведенными к основанию AB:
∠AOE=∠BOE=α2;
∠AEO=90°.
2) Центры O1 и O и точка касания N окружностей ω1 и ω лежат на одной прямой, значит:
O1O=NO-NO1=R-r.
3) Из прямоугольного треугольника AEO:
OE=OAcosα2=Rcosα2.
4) Из прямоугольного треугольника ODO1:
O1D2+OD2=O1O2;
r2+r+Rcosα22=R-r2;
r2+r2+2rRcosα2+R2cos2α2=R2-2Rr+r2;
r2+2R1+cosα2r-R21-cos2α2=0;
r2+2R1+cosα2r-R2sin2α2=0;
D4=R21+cosα22+R2sin2α2=R21+2cosα2+cos2α2+sin2α2=R22+2cosα2=
=2R21+cosα2=4R2cos2α4;
r=-R1+cosα2±4R2cos2α4=-2Rcos2α4±2Rcosα4.
По смыслу задачи подходит только положительный корень:
r=2Rcosα4-2Rcos2α4=2Rcosα41-cosα4=4Rcosα4sin2α8.
Ответ: r=4Rcosα4sin2α8.