В отделе k телефонных аппаратов. Среднее число поступающих в отдел вызовов равно λ вызовов в час. Входной поток простейший. Время переговоров распределено по показательному закону и в среднем составляет T минут. Определить:
1) вероятность отказа в переговорах;
2) абсолютную пропускную способность системы;
3) относительную пропускную способность;
4) среднее число занятых аппаратов;
5) коэффициент загрузки оборудованияkk∙100%.
Как изменятся эти показатели работы системы, если в отделе добавить еще один аппарат? Сколько аппаратов необходимо добавить, чтобы отказ получали не более 10 % вызовов?
8. k=4,λ=30,T=12
Решение
Работу отдела рассматриваем как многоканальную k=4 СМО с отказами. Вычисляем нагрузку на СМО:
ρ=λT=30∙1260=6
Находим вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=0nρkk!=1k=046kk!≈0,0087
Вычисляем требуемые показатели эффективности работы:
- вероятность отказа в переговорах:
Pотк=p4=ρ44!∙p0=644!∙0,0087≈0,4696
- относительную пропускную способность:
Q=1-Pотк=1-0,4696=0,5304
- абсолютную пропускную способность системы:
A=λQ=30∙0,5304=15,912(вызовов в час)
- среднее число занятых аппаратов:
k=AT=15,912∙1260≈3,1824
- коэффициент загрузки оборудования:
Kзаг=kk∙100%=3,18244∙100%≈79,56%
Определим, как изменятся эти показатели работы системы, если в отделе добавить еще один аппарат
. Пересчитываем показатели работы:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=056kk!≈0,0056
- вероятность отказа в переговорах:
Pотк=655!∙0,0056≈0,3629
- относительную пропускную способность:
Q=1-Pотк=1-0,3629=0,6371
- абсолютную пропускную способность системы:
A=λQ=30∙0,6371=19,113(вызовов в час)
- среднее число занятых аппаратов:
k=19,113∙1260≈3,8226
- коэффициент загрузки оборудования:
Kзаг=kk∙100%=3,82265∙100%≈76,45%
Как видим, добавление одного аппарата ведет к снижению вероятности отказа в обслуживании на 10%, а коэффициент загрузки оборудования снижается на 3%.
Определим, сколько необходимо аппаратов для того, чтобы вероятность отказа не превышала 10%.
Для 6-ти аппаратов имеем:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=066kk!≈0,0041
- вероятность отказа в переговорах:
Pотк=666!∙0,0041≈0,2657
Для 7-ти аппаратов имеем:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=076kk!≈0,0033
- вероятность отказа в переговорах:
Pотк=677!∙0,0033≈0,1833
Для 8-ти аппаратов имеем:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=086kk!≈0,0029
- вероятность отказа в переговорах:
Pотк=688!∙0,0029≈0,1208
Для 9-ти аппаратов имеем:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=096kk!≈0,0027
- вероятность отказа в переговорах:
Pотк=699!∙0,0027≈0,0750
Таким образом, для того, чтобы вероятность отказа не превышала 10%, необходимо девять аппаратов
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
