В компьютерном зале l персональных компьютеров. Зал эксплуатируется 12 часов в сутки. Интенсивность потока отказов одного компьютера равна λ компьютеров в сутки. Время восстановления одного компьютера одним мастером в среднем составляет T часов. Все потоки простейшие. Определить оптимальное число обслуживающих зал мастеров по ремонту, если производительность зала оценивается по формуле:
Пзала=l-lнеиспрl∙100%
где l – число персональных компьютеров, lнеиспр– среднее число неисправных компьютеров.
Указание: экономически оправдан прием на работу еще одного мастера, если он обеспечивает прирост производительности зала не менее чем на 10% от номинальной.
Вариант 17. l=6; λ=0,3;T=30
Решение
Имеем замкнутую систему массового обслуживания, в которой вероятность того, что все приборы обслуживания свободны (n – число приборов обслуживания, m–число заявок в СМО, m>n), вычисляется по формуле:
p0=1k=0nm!k!m-k!ρk+k=n+1mm!nk-nn!m-k!ρk
Вычисляем нагрузку на СМО (приводим к одним единицам измерения, с учетом того, что в рабочих сутках 12 часов):
ρ=λT=0,3∙3012=0,75
Рассмотрим работу зала с одним мастером по ремонтуn=1,m=6.
Вычисляем вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=016!k!6-k!0,75k+k=266!6-k!0,75k≈0,0021
Среднее число заявок в системе (среднее число неисправных компьютеров) вычисляем, используя вероятности пребывания в состояниях системы:
Lc=lнеиспр=p0k=1nm!(k-1)!m-k!+k=n+1mk∙m!nk-nn!m-k!=
=0,0021k=116!(k-1)!6-k!0,75k+k=26k∙6!6-k!0,75k≈4,669
Соответствующая производительность зала:
Пзала=6-4,6696∙100%=22,18%
Теперь работа зала с двумя мастерами по ремонту:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=026!k!6-k!0,75k+k=366!2k-2∙2!6-k!0,75k≈0,0180
- среднее число неисправных компьютеров:
lнеиспр=0,0180k=126!(k-1)!6-k!0,75k+k=36k∙6!2k-2∙2!6-k!0,75k≈3,4894
- производительность зала:
Пзала=6-3,48946∙100%=41,84%
Производительность увеличилась более, чем на 10%, поэтому исследуем работу зала с тремя мастерами по ремонту:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=036!k!6-k!0,75k+k=466!3k-3∙3!6-k!0,75k≈0,0306
- среднее число неисправных компьютеров:
lнеиспр=0,0306k=136!(k-1)!6-k!0,75k+k=46k∙6!3k-3∙3!6-k!0,75k≈2,8344
- производительность зала:
Пзала=6-2,83446∙100%≈52,76%
Производительность увеличилась более, чем на 10%, поэтому исследуем работу зала с четырьмя мастерами по ремонту:
- вероятность отсутствия заявок в системе:
p0=1k=046!k!6-k!0,75k+k=566!4k-4∙4!6-k!0,75k≈0,0342
- среднее число неисправных компьютеров:
lнеиспр=0,0342k=146!(k-1)!6-k!0,75k+k=56k∙6!4k-4∙4!6-k!0,75k≈2,6193
- производительность зала:
Пзала=6-2,61936∙100%≈56,35%
Поскольку прирост производительности составил менее 10%, то оптимальным числом работников по ремонту является число 3.
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
