В пространстве даны точки A-2 -7 1 B3 1

Длину ребра AB можно найти как длину вектора AB
AB=xB-xA;yB-yA;zB-zA=3+2;1+7;1-1=(5;8;0)
AB=52+82+02=89
Уравнение ребра найдем как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
x-xAxB-xA=y-yAyB-yA=z-zAzB-zA
x+23+2=y+71+7=z-11-1
x+25=y+78=z-10
б) Вычислим координаты векторов:
AC=xC-xA;yC-yA;zC-zA=5+2;3+7;1-1=(7;10;0)
Найдем векторное произведение векторов AB и AC
AB×AC=ijk5807100=-6k
Используя геометрическое свойство векторного произведения, получаем площадь грани ABC
SABC=12∙AB×AC=62=3 кв.ед
Вектор нормали к плоскости ABC равен: n0;0;1
Составим уравнение плоскости по вектору нормали и точке A:
z-zA=0 z-1=0
в) Высоту, проведенную к вершине S найдем по формуле расстояния от точки до плоскости:
SH=h=zS-11=1
Направляющим вектором высоты служит вектор нормали к плоскости ABC . Составим уравнение высоты по направляющему вектору и точке S
x-xSnx=y-ySny=z-zSnz
x-10=y+70=z1
г) проекцией вершины S на плоскость ABC является точка H, которую можно найти как точку пересечения плоскости ABC и прямой SH. Для этого канонические уравнения прямой SH приведем к параметрическим уравнениям
x-10=y+70=z1=t => x=1y=-7z=t
z-1=0 => t-1=0 t=1
Точка H(1;-7;1)
д) проекцией ребра AS на грань ABC является прямая AH, уравнения которой можно найти как уравнения прямой проходящей через две заданные точки:
x-xAxH-xA=y-yAyH-yA=z-zAzH-zA
x+21+2=y+7-7+7=z-11-1
x+23=y+70=z-10 x+21=y+70=z-10
е) уравнения искомой прямой можно найти как уравнение прямой, проходящей через заданную точку S1;-7;0 параллельно заданному вектору AB=5;8;0
x-15=y+78=z0
ж) вектор n=0;0;1 является нормальным вектором искомой плоскости