В первой части задания нужно исследовать движение точки M и определить основные характеристики этого движения.
Требуется:
1) по заданному движению механизма (см. варианты заданий) получить уравнения движения точки M координатным способом (в декартовой или полярной системе координат, указанной на схеме варианта);
2) определить траекторию движения точки M.
Для момента времени t=t1:
3) найти скорость v и ускорение a точки M;
4) определить проекции скорости v и ускорения a точки M на оси декартовой системы координат;
5) найти касательную aτ и нормальную an составляющие ускорения, радиус кривизны ρ траектории в данном положении точки M;
6) найти радиальные и трансверсальные составляющие скорости, и ускорения точки M. Начало полярной системы координат нужно поместить в начало декартовой, направив полярную ось по оси Ox;
7) в выбранном масштабе выполнить чертеж с изображением траектории движения точки M . На чертеже указать все составляющие скорости и ускорения точки M в момент времени t= t1.
Решение
По заданному движению механизма получить уравнения движения точки M координатным способом (в декартовой или полярной системе координат, указанной на схеме варианта). На схеме варианта ничего такого не указано. Движение точки M можно получить и в декартовой, и полярной системе координат. Так как задано зависимости φt и rt, исключив параметр t, можем определить зависимость rφ, что представляет собой уравнение движения точки M в полярной системе координат.
φt=π3t⟹t=3πφ;
Тогда
rφ=3∙3πφ2=27π2φ2;
rφ=27π2φ2
1.2 Построим траекторию точки M, для чего вычислим несколько значений положения точки M в промежутке времени, содержащем момент времени t=t1, и соединим их плавной линией. Углы выражаем в градусах, что будет легче построить. Траекторию построим на отдельном рисунке (рис. 2), в том же линейном масштабе, чтобы сильно не нагружать рисунок 1.
t, с
0
16
13
12
23
1
φt,град
0
10
20
30
40
60
rt,м
0
0,083
0,333
0,75
1,333
3
Полярные координаты точки M:
φ0,5=π6рад=30°; r0,5=0,75 м.
1.3 Для определения скоростей и ускорений точки M из полярных координат переходим к декартовым.
x=rcosφ;y=rsinφ.⟹x=3t2cosπ3t;y=3t2sinπ3t.
-15621038101
x
3
O2
z
A
y
B
φ(t)
A2
r(t)
2
M
A3
Масштаб:
μl=0,01 ммм
O1
Рисунок 1
Исходный
27
001
x
3
O2
z
A
y
B
φ(t)
A2
r(t)
2
M
A3
Масштаб:
μl=0,01 ммм
O1
Рисунок 1
Исходный
27
Координаты точки M в декартовой системе координат, показанной на рис. 2:
x0,5=3∙0,52cosπ3∙0,5=0,650 м.
y0,5=3∙0,52sinπ3∙0,5=0,375 м.
Определим скорость точки M:
v=vxi+vyj,
где vx и vy- проекции вектора скорости на координатные оси; i и j- орты декартовой системы координат.
v=vxi+vyj=xi+yj==6tcosπ3t-πt2sinπ3ti+6tsinπ3t+πt2cosπ3tj.
В момент времени t=t1=0,5 с:
v0,5=6∙0,5∙cosπ3∙0,5-3,14∙0,52∙sinπ3∙0,5i+
+6∙0,5∙sinπ3∙0,5+3,14∙0,52∙cosπ3∙0,5j=
=6∙0,5∙0,866-3,14∙0,52∙0,5i+6∙0,5∙0,5+3,14∙0,52∙0,866j=
=2,223i+2,150j
vx=2,223мс
. vy=2,150 LINK Word.Document.12 "C:\\Users\\Гагик\\Desktop\\В работе 40\\30.09.20. Теормех. КУРСОВАЯ РАБОТА (Repaired).docx" OLE_LINK1 \a \r мс.
Модуль скорости в момент времени t=t1=0,5 с:
v0,5=2,2232+2,1502=3,098 мс.
v0,5=3,098 мс.
1.4 Скорость точки M
v=vrr0+vpp0,
где vr и vp- проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси соответственно, r0 - единичный вектор, направленный от точки O1 к точке M; p0- единичный вектор, направление которого соответствует повороту r0на 90° в положительном направлении отсчета угла φ.
Проекция скорости v на радиальную ось:
vr=r=12x2+y22xx+2yy=xvx+yvyr
Проекция скорости v на трансверсальную ось:
vp=rφ=r11+yx2yx-xyx2=xvy-yvxr.
При t=0,5 с
vr=xvx+yvyr=0,650∙2,223+0,375∙2,1500,75=3,0016 мс.
vr=3,0016 мс.
vp=xvy-yvxr=0,650∙2,150-0,375∙2,2230,75=0,752 мс.
vp=0,752 мс.
v=vr2+vp2=3,00162+0,7522=3,099мс.
Получилось практически тот же результат, что свидетельствует о верности расчетов.
В масштабе построим эти векторы.
1.5 Ускорение точки M
a=axi+ayj
Проекция ускорения на ось Ox
ax=x=6cosπ3t-2πtsinπ3t-6tsinπ3t-πt2cosπ3t==6-πt2cosπ3t-2t(π+3)sinπ3t
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
