В пенале находятся 4 ручки с синими стержнями

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно взять из пенала 3 ручки, то есть числу сочетаний
n=C4+2+13=C73=7!3!7-3!=7!3!4!=5∙6∙72∙3=5∙7=35
все выбранные ручки – синие
Событие A – все выбранные ручки – синие.
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C43=4!3!1!=4
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию A, к числу всех элементарных исходов
PA=mn=435≈0,1143
среди извлеченных не будет черных ручек
Событие A – среди извлеченных не будет черных ручек.
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C4+13=C53=5!3!2!=2∙5=10
Искомая вероятность
PA=mn=1035=27≈0,2857
среди вынутых ручек хотя бы одна будет черной
Событие A – среди вынутых ручек хотя бы одна будет черной.
Событие A – среди вынутых ручек ни одной черной ручки.
События A и A противоположные
PA+PA=1
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C4+13=C53=5!3!2!=2∙5=10
Искомая вероятность
PA=1-PA=1-mn=1-1035=1-27=57≈0,7143
извлечены 2 синие ручки
Событие A – среди извлеченных 2 синие ручки.
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C42∙C2+11=C42∙C31=4!2!2!∙3!1!2!=3∙2∙3=18
Искомая вероятность
PA=mn=1835≈0,5143
среди вынутых ручек будет красная
Событие A – среди вынутых ручек будет красная.
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C4+22∙C11=C62∙C11=6!2!4!∙1!1!0!=5∙3=15
Искомая вероятность
PA=mn=1535=37≈0,4286
извлечены 2 черных и одна синяя
Событие A – извлечены 2 черных и одна синяя.
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C22∙C41=2!2!0!∙4!1!3!=4
Искомая вероятность
PA=mn=435≈0,1143
вынута хотя бы одна синяя ручка
Событие A – вынута хотя бы одна синяя ручка.
Событие A – не вынули ни одной синей ручки.
События A и A противоположные
PA+PA=1
Число исходов, благоприятствующих событию A
m=C2+13=C33=3!3!0!=1
Искомая вероятность
PA=1-PA=1-mn=1-135=3435≈0,9714
Ответ: 1) 435; 2) 27; 3) 57; 4) 1835; 5) 37; 6) 435; 7) 3435.