В некоторой декартовой системе координат известно соотношение Mijk=AiBjk

Далее везде в индексных формулах используем правило Эйнштейна, по дважды повторяющемуся индексу предполагается суммирование.
Поскольку Ai тензоров I-го ранга, то его компоненты в двух базисах связаны соотношениями
Ai'=Apαip,
где αip − компоненты матрицы преобразования от одного базиса к другому.
Поскольку Bjk тензоров II-го ранга, то его компоненты в двух базисах связаны соотношениями
Bjk'=Bqsαqjαsk.
Тогда элементы Mijk будут преобразовываться по формулам
Mijk'=Ai'Bjk'=ApαipBqsαqjαsk=ApBqsαipαqjαsk=Mpqsαipαqjαsk.
Следовательно, по определению Mijk − тензор III-го ранга.