В единичном круге U=z∈C z&lt 1 разложить функцию в степенной ряд с центром в точке z0=0

Функция f(z) является аналитической в кольце z<1. Коэффициенты ряда Лорана находим по формуле:
cn=12πi∙U fzzn+1dz=12πi∙U 2dz(1-z)3∙zn+1
Если (n+1)≤0, то подынтегральная функция будет аналитической во всех точках кольца, поэтому:
U 2dz(1-z)3∙zn+1=0 => cn=0 n≤-1
Если n>-1, то:
cn=12πi∙U 2dz(1-z)3∙zn+1=Resz=0 2(1-z)3∙zn+1=
=limz→01n!∙dndzn-12(1-z)3∙zn+1∙zn+1=2n!∙limz→0dndzn1(1-z)3=
Вычислим производную n порядка:
ddz1(1-z)3=-3(1-z)4∙(1-z)'=3(1-z)4
d2dz21(1-z)3=ddz3(1-z)4=-3∙4(1-z)5∙(1-z)'=3∙4(1-z)5
d3dz31(1-z)3=ddz3∙4(1-z)5=-3∙4∙5(1-z)6∙(1-z)'=3∙4∙5(1-z)6
dndzn1(1-z)3=3∙4∙5∙…∙n+2(1-z)n+3=1∙2∙3∙4∙5∙…∙n+21∙2∙(1-z)n+3=n+2!2∙(1-z)n+3
cn=2n!∙limz→0dndzn1(1-z)3=2n!∙n+2!2=n+1n+2, n>-1
fz=2(1-z)3=n=0∞n+1(n+2)∙zn=2+6z+12z2+20z3+30z4+42z5+…
Ответ:
fz=n=0∞n+1(n+2)∙zn, z<1