В аэропорт прибывает простейший поток самолетов

Поскольку имеется простейший поток самолетов, то случайная величина Х – число самолетов за определенный период времени имеет распределение Пуассона, вероятности которого вычисляются по формулам:
Px=k=akk!e-a
Где a-среднее число самолетов в единицу времени.
а) за 10 минут прибудет не менее 3 самолетов
Имеем:
a=3∙105=6
Вычисляем вероятности того, что за 10 минут прибудет 0, 1 и 2 самолета соответственно:
Pk=0=600!e-6=e-6
Pk=1=611!e-6=6e-6
Pk=2=622!e-6=18e-6
Тогда вероятность того, что за 10 минут прибудет не менее 3 самолетов, равна:
PA=1-PA=1-e-6+6e-6+18e-6=1-25e-6≈0,9380
б) за 20 минут прибудет не более 5 самолетов
Имеем:
a=3∙205=12
Вычисляем вероятности того, что за 20 минут прибудет 0, 1, 2, 3 и 4 самолета соответственно:
Pk=0=1200!e-12=e-12
Pk=1=1211!e-12=12e-12
Pk=2=1222!e-12=72e-12
Pk=3=1233!e-12=288e-12
Pk=4=1244!e-12=864e-12
И вероятность того, что за 20 минут прибудет не более 3 самолетов, равна:
PБ=e-12+12e-12+72e-12+288e-12+864e-12=1237e-12≈0,0076
PБ=5600!e-56=e-56≈0,435
в) за 5 минут прибудет нечетное число самолетов
Имеем следующую сумму вероятностей:
PB=k=0∞a2k+12k+1!e-a=e-ak=0∞a2k+12k+1!
Учитывая разложение в ряд Маклорена:
shx=k=0∞x2k+12k+1!,R=∞
Получаем:
PB=e-asha
И учитывая, что a=3, вероятность того, что за 5 минут прибудет нечетное число самолетов равна:
PB=e-3sh3=e-3∙e3-e-32=1-e-62≈0,4988