Устойчивость сжатых стержней
Исходные данные:
Стержень - стальной, F = 480 кН; l = 3,9 м.
Требуется:
1. Подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия его устойчивости при допускаемом напряжение на сжатие [σ]=160 МПа (расчёт проводить методом последовательных приближений по коэффициенту снижения допускаемых напряжений на сжатие).
2. Найти величину критической силы и коэффициент запаса устойчивости n.
Рис.Х.8.1. Расчетная схема.
Решение
Определение геометрических характеристик сечения стержня через искомых размер сечения
Площадь сечения: А = π·а2 - а2 = 2,142·а2, размер «а» равен:
а = (А/2,142)1/2 = 0,683·А.
Определяем главные центральные моменты инерции:
В следствии симметрии относительно обоих осей, имеем:
Jmin = Jx = JY = π·а4/4 - а4/12 = 0,702·а4
Минимальный радиус инерции:
imin = (Jmin/A)1/2 = (0,702·а4/2,142·а2)1/2 = 0,572·a
Д1ля заданного варианта закрепления коэффициент приведения длины μ = 0,7.
Гибкость стержня: λ = μ·l/imin = 0,7·3,9/0,572·a = 4,77/a.
2. ПОДБОР ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ СТЕРЖНЯ.
Из условия устойчивости площадь поперечного сечения: A = F/𝜑·[σ]сж, которую находим методом последовательного приближения.
Для первого приближения примем 𝜑1 = 0,5, тогда:
A = 480·103/(0,5·160·106) = 60,0·10-4 м2 = 60,0 см2.
Находим параметр а:
а1 = 0,683·А1 = 0,683·60,0 = 5,29 см.
Проверяем, соответствует ли допускаемая нагрузка для подобранного сечения заданной силе.
Гибкость стержня при a1, равна: λ1 = 4,77/a1 = 4,77/(5,29·10-2) = 90,2.
По приложению 2 находим соответствующий коэффициент 𝜑
.
Значения λ = 90,2 в таблице нет, поэтому искомое значения коэффициента определяем путем линейной интерполяцией:
при λ = 90 𝜑90 = 0,69
при λ = 100 𝜑100 = 0,60
𝜑*1 = 0,69 - (0,69 -0,60)·0,2/10 = 0,688, что значительно отличается от 𝜑1 = 0,5.
Второе приближение
Принимаем новое значение 𝜑2 = (𝜑1 + 𝜑*1)/2 = (0,5 + 0,688)/2 = 0,594 и повторяем в том же порядке вычисления.
A2 = 480·103/(0,594·160·106) = 50,5·10-4 м2 = 50,5 см2.
а2 = 0,683·А2 = 0,683·50,5 = 4,85 см.
λ2 = 4,77/a2 = 4,77/(4,85·10-2) = 98,4, по таблице находим коэффициент 𝜑*2
при λ = 90 𝜑90 = 0,69
при λ = 100 𝜑100 = 0,60
𝜑*2 = 0,69 - (0,69 -0,60)·8,4/10 = 0,614.
Третье приближение
Принимаем 𝜑3 = (𝜑2 + 𝜑*2)/2 = (0,594 + 0,614)/2 = 0,604
A3 = 480·103/(0,604·160·106) = 49,65·10-4 м2 = 49,65 см2.
а3 = 0,683·А3 = 0,683·49,65 = 4,83 см.
λ3 = 4,77/a3 = 4,77/(4,83·10-2) = 98,8, по таблице находим коэффициент 𝜑*3
при λ = 90 𝜑90 = 0,69
при λ = 100 𝜑100 = 0,60
𝜑*3 = 0,69 - (0,69 -0,60)·8,8/10 = 0,611, т.е
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
