Тяжелая горизонтальная струна (-l&lt,х&It?I)

Струна – это бесконечно тонкая нить, не сопротивляющаяся изгибу. Пусть u(x,t) – поперечное отклонение струны в точке x (см. рис.). Будем рассматривать только малые плоские колебания струны, т.е. считаем, что величины tg α=ux малы, и в дальнейшем будем пренебрегать величинами порядка O(ux2) и выше.
Длина какого-либо участка струны (x1, x2) в деформированном состоянии равна
S=x1x21+ux2dx≈x2-x1=const.
Таким образом, при сделанных выше допущениях длина струны не меняется. Следовательно, по известному из механики закону Гука модуль натяжения струны T0=T=const. Натяжение T(x,t) в точке x в момент t направлено по касательной к струне (т.к. нет сопротивления изгибу).
Рассмотрим малый элемент струны [x, x+∆x] при t>0 (т.е. когда сосредоточенная сила перестала действовать). Спроектируем все силы на направление u. Запишем уравнение движения Ньютона для этого элемента . Для силы натяжения имеем
T0sinαx+∆x-sinαx=T0tgα1+tg2αx+∆x-tgα1+tg2αx≈
≈T0tgαx+∆x-tgαx≈T0uxx+∆x-ux(x)
Если ρ(x) — линейная плотность материала струны, тогда масса элемента будет ∆m=ρ∆x.
На струну действует внешняя сила тяжести с массовой плотностью g, на элемент [x, x+∆x] будет действовать сила
gρ∆x.
Произведения массы на ускорение будет ρ∆xutt. Итак имеем следующее уравнение Ньютона для элемента струны
ρuttx,t∆x=T0uxx+∆x-ux(x)+gρ∆x.
(1)
Разделив обе части уравнения на ρ∆x и переходя к пределу ∆x→0, получим дифференциальное уравнение
uttx,t=T0ρlim∆x→0uxx+∆x-ux(x)∆x+g,
utt=T0ρuxx+g.
(2)
Введем обозначение a2=T0/ρ, тогда волновое уравнение, описывающее колебание струны, примет вид
utt=a2uxx+g, -l<x<l.
(3)
Края струны закреплены, т.е. смещение этих точек равны нулю. Получаем следующее граничные условия
u-l,t=0, ul,t=0