Требуется исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики по плану:
1. Найти область определения функции.
2. Выяснить, является ли функция чётной или нечётной, т. е. симметричен ли её график относительно оси ординат или начала координат.
3. Найти вертикальные и невертикальные асимптоты графика функции.
4. Найти интервалы монотонности, т. е. интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.
5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба.
6. Построить график функции, используя все собранные данные (если их окажется недостаточно, чтобы представить график функции, то найти несколько дополнительных точек, например, точки пересечения с осями координат).
a)y=2x3-4∙x2-3; б) y=x2+1x-2.
Решение
A)y=2x3-4∙x2-3
Воспользуемся схемой полного исследования (см. 4.18).
1)Областью определения функции y=2x3-4∙x2-3 является вся числовая прямая, т.е. x∈-∞;+∞.
2) Проверим, является ли функция чётной или нечетной. Найдем
f-x=2-x3-4∙-x2-3=-2x3-4∙x2-3=-2x3+4∙x2+3.
Т. к. f(– х) ≠ f(х) и f(– х) ≠ - f(х) (см. 4.12), то функция является ни четной ни нечетной. Ее график не симметричен ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
3)Найдем асимптоты:
Т.к. функция определена на всей области определения, т.е. x∈-∞;+∞, то вертикальных асимптот нет.
Наклонную асимптоту ищем в виде y=kx+b, где (см. 4.14.3)
k=limx→±∞fxx=limx→±∞2x3-4∙x2-3 x=limx→±∞2x3x3-4∙x2x3-3x3 xx3=limx→±∞2-4x-3x31x2=20=±∞.
limx→±∞4x=0; limx→±∞ 3x3=0; limx→±∞1x2=0 .
Наклонной асимптоты нет.
4)Найдем интервалы монотонности и точки экстремума функции Найдем первую производную функции.
y'=2x3-4∙x2-3 '=6x2-8x.
Найдем критические точки I-го рода (см. 4.15), для чего приравняем первую производную к нулю:
y'=0⇒6x2-8x=0⇒2x∙3x-4=0⇒x1=0; x2=43.
Точек, где первая производная не существует, нет.
Следовательно, x1=0; x2=43 - критические точки I-го рода. Составим таблицу промежутков монотонности функции и определим знак производной у'(х) в любой точке каждого промежутка:
X -∞;0
0 0; 43
43
43;+∞
y'
+ 0 --- 0 +
y - 4 -8
Точка
max
Точка
min
На интервалах -∞;0; 43;+∞ знак первой производной положительный, поэтому на этих интервалах функция возрастает. На интервале 0; 43 знак первой производной меньше нуля, поэтому на этом интервале функция убывает.
(см. 4.13 ). При переходе через критическую точку x1=0 производная y(x)' меняет знак с «плюса» на «минус», следовательно, х = 0 - точка максимума (см. 4.16)
При переходе через критическую точку x2=43 производная y(x)' меняет знак с «минуса» на «плюс», следовательно, х =43 - точка минимума (см
. 4.16).
Найдем значения функции y=2x3-4∙x2-3 в точках экстремума:
ymax=y(0)=2∙03-4∙02-3=-3⇒А(0;-3)- точка максимума,
ymin=y(43)=2∙433-4∙432-3=-51027 ⇒ В(43; -51027) – точка минимума.
Найдём интервалы выпуклости (вогнутости) графика функции и точки перегиба (см 4.17.1 и 4.17.2). Из производной
y''=y''=6x2-8x'=12x-8 найдём критические точки II-го рода, для чего приравняем к нулю производную второго порядка (см. 4.17.2).
y''=0⇒12x-8=0⇒x=23.
Точек, где вторая производная не существует, нет. Следовательно, x=23 - критическая точка II-го рода.
Составим таблицу промежутков выпуклости и вогнутости графика функции и определим знак второй производной у''(х) в любой точке каждого промежутка.
Х -∞;23
23
23;+∞
y''
--- 0 +
у ∩
-4527
∪
Точка
перегиба
На интервале -∞;23 кривая выпукла, на интервале 23;+∞ кривая вогнута.
При переходе через критические точки II-го рода x=-2 вторая производная меняет знак, а график функции y=2∙x3-4∙x2-3 меняет направление выпуклости, следовательно точка x=23 - точка перегиба графика функции (см. 4.17.2).
Найдем значение функции в точке перегиба:
ут.перег.=у(23)=2233-4∙232-3=-1527⇒С23; -4527 - точка перегиба.
Нанесем на числовую прямую все полученные точки х1, х2, х и расставим на каждом полученном интервале «стрелочки» и «дуги»: ( ; ) ; ∪ ; ∩.
∩ х1 ∩ х ∪ х2 ∪ Х
Составим график функции из выделенных дуг, предварительно построив точки А, В, С.
б) y=x2+1x-2
Воспользуемся схемой полного исследования (см. 4.18).
1) Найдем область определения функции y=x2+1x-2.
Функция не определена, если х - 2 = 0, т.е. если х = 2 в остальных точках функция существует
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
