Требуется найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

X∙y''+4y=sinx
Найдём сначала общее решение соответствующего однородного уравнения y''+4y=0. Для этого составим характеристическое уравнение k2+ 4 =0 и найдём его корни k1 -2i, k2 2 i. Общее решение однородного уравнения будет
yo.0=C1cos2x+C2sin2x.
Правая часть неоднородного уравнения имеет вид: fx sinx . Частное решение можно искать методом неопределённых коэффициентов. Частное решение, соответствующее правой части fx sinx будем искать в виде:
yч.н=А sinx+Bcosx, где А,B неизвестные постоянные
Находим производные:
yч.н'=А cosx-Bsinx
yч.н''=-А sinx-Bcosx
Подставляем:
-А sinx-Bcosx+4А sinx+Bcosx=sinx,
3А sinx+3Bcosx=sinx=>B=0,A=13.
Таким образом,
yч.н.=13sinx.
Следовательно, общее решение исходного дифференциального уравнения есть yо.н