Требуется найти общее решение дифференциальных уравнений первого порядка

X∙y'+2y=1+x2=>y'+2yx=1x+x.
Данное уравнение линейное, найдём его общее решение методом Бернулли. Сделаем подстановку y ux v x, yu v v u . Подставим выражения для y и y в заданное уравнение:
u v v u+uv2x=1x+x,
vu +u2xv u=1x+x *
Найдём функцию u как частное решение уравнения u +u2x . Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем:
duu=-2dxx,
duu=-2dxx
lnu=-2lnx=>u=x-2.
Подставляя найденную функцию u=x-2 в уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого найдём функцию v x :
v ∙x-2=1x+x=>v =x+x3=>v=x+x3dx=x22+x44+C.
v=x22+x44+C
Учитывая, что y=uv , получим общее решение исходного уравнения
y x-2x22+x44+C=>y=x24+12+Cx2.
Ответ: y=x24+12+Cx2.