Тонкий стержень длиной l = 10 см заряжен с линейной плотностью τ = 400 нКл/м

Применим принцип суперпозиции для поля непрерывно распределенных зарядов:
E=dE.
Выделим на стержне бесконечно малый участок длиной dl.
Находящийся на нем заряд dq=τdl можно считать точечным, и напряженность поля, созданного им, рассчитывать, как
dE=τdl4πε0r2⋅rr
Из приведенного рисунка видно, что
r=r0cosα;dl=rdαcosα
Следует иметь в виду, что dE-вектор, поэтому прежде чем интегрировать, выберем оси координат х и y и найдем проекции вектора dE на эти оси:
dEx=dEcosα;dEy=dEsin α,
или, учитывая сделанные подстановки,
dEx=τ4πε0r0cosα;dEy=τ4πε0r0sinα.
Интегрируя эти выражения в пределах от 0 до получим:
Ex=dEx=0βτ4πε0r0cosαdα=τsinβ4πε0r0
Ey=dEy=0βτ4πε0r0sinαdα=τ(1-cosβ)4πε0r0
где Ех и Еу – проекции результирующего вектора на оси х и у.
Подставим числовые значения заданных величин в системе СИ и произведем вычисления:
Ex=4⋅10-7⋅9⋅109⋅0,18⋅10-264⋅10-4+100⋅10-4=35,1⋅103В/м;
Ey=4⋅10-7⋅9⋅1091-8⋅10-264⋅10-4+100⋅10-48⋅10-2=16,1⋅103В/м.
Вектор напряженности определится через проекции Ех и Еу :
E=Exi+Eyj=(35,1i+16,1j)103В/м,
где – орты координатных осей х и у