Точка М движется в пространстве согласно уравнениям

1. Определим траекторию движения точки. Для определения траектории движения точки, заданного координатным способом, исключим из системы уравнений (1) время t.
x3=sinωt;
y5=cosωt.
Возведем в квадрат и сложим.
x232+y252=sin2ωt+cos2ωt;
x232+y252=1.
Получили каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат (рис. 1).
Найдем и укажем на рис. 1 положение точки M0(x0;y0) на траектории ее движения в начальный момент времени (t=0) и M1(x1;y1) в момент времени t1.
x0=3sin(ω∙0)=0;y0=5cos(ω∙0)=5 м,
M00;5.
x1=3sin(ω∙1);y1=5cos(ω∙1).
В задании не задано значение ω. Пусть ω=π6. Тогда
x1=3sinπ6∙1=1,5 м;y1=5cosπ6∙1=4,33 м.
M11,5;4,33.
Укажем на рис. 1 найденные точки M0 и M1.
2. Определим и построим по составляющим Vx и Vy вектор V линейной скорости точки. Проекции вектора линейной скорости на координатные оси и его модуль определим по формулам:
Vx=dxdt=x=3∙π6cosπ6t=π2cosπ6t;
Vy=dydt=y=-5π6sinπ6t.
V=Vx2+Vy2.
Определим зависимость скорости точки от времени.
V=Vx2+Vy2=π2cosπ6t2+-5π6sinπ6t2=
=π24cos2π6t+π24259sin2π6t=
=π2cos2π6t+sin2π6t+169sin2π6t=π21+169sin2π6t
Vt=π21+169sin2π6t.
При t1=1с
V1x=π2cosπ6∙1=1,360 мс;
V1x=1,360 мс.
V1y=-5π6sinπ6∙1=-1,309 мс;
V1y=-1,309 мс.
V1=1,3602+-1,3092=1,888 мс;
V1=1,888 мс.
Построим скорость точки на рис. 1 в соответствующем масштабе.
Определим ускорения точки:
ax=dVxdt=x=-π212sinπ6t;
ay=dVydt=y=-5π236cosπ6t.
a=ax2+ay2.
При t1=1с
a1x=-π212sinπ6∙1=-0,411мс2;
a1x=-0,411мс2.
a1y=-5π236cosπ6∙1=-1,187 мс2;
a1y=-1,187 мс2.
a1=a1x2+a1y2=-0,4112+(-1,187)2=1,256 мс2
a1=1,256 мс2.
Чтобы найти проекции ускорения на оси естественной координатной системы (тангенциальная и нормальная оси), продифференцируем выражение V2=Vx2+Vy2, получим:
2VdVdt=2VxdVxdt+2VydVydt,
откуда тангенциальное ускорение точки
aτ=dVdt=Vxax+VyayV.
При t1=1с
a1τ=V1xa1x+V1ya1yV1=1,360∙-0,411-1,309∙(-1,187) 1,888=0,527мс2.
a1τ=0,527мс2.
Определим нормальное ускорение:
an=a2-aτ2.
При t1=1с
a1n=a12-a1τ2=1,2562-0,5272=1,140 мс2.
a1n=1,140мс2.
В выбранном масштабе построим также векторы тангенциального и нормального ускорений.
Равенство геометрических сумм векторов ax и ay, а также векторов aτ и an, одному и тому же вектору a (при построении в одном масштабе) свидетельствует о корректности проведенных аналитических вычислений и точности построений . У нас получилось идеальное совпадение.
Радиус кривизны траектории определим из выражения нормального ускорения:
an=V2ρ;
ρ=V2an.
438152308860-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
1
6
y
x
Длина, м:


M00;5.
M11,5;4,33.
x232+y252=1.
V1x=1,360 мс.
V
Vy
Скорость, мс:

0
1
2
Ускорение, мс2:

0
0,25
0,5
0
0,25
0,5
Масштабы
Vx
 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ay
 
 
ax
a
 
 
aτ
2
an
 
 
P
Рис