Точка М движется в пространстве согласно уравнениям
xt=3sinωt (м);yt=5cosωt (м), (1)
Необходимо:
1) изобразить траекторию движения точки, указать начальное положение точки и положение точки в момент времени t1=1 с;
2) для момента времени t1 определить скорость, ускорение, касательное и нормальное ускорения точки, а также радиус кривизны траектории в данной точке;
3) построить графики изменения скорости, ускорения, касательного и нормального ускорений точки в промежутке времени от начала движения до момента времени t1
Решение
1. Определим траекторию движения точки. Для определения траектории движения точки, заданного координатным способом, исключим из системы уравнений (1) время t.
x3=sinωt;
y5=cosωt.
Возведем в квадрат и сложим.
x232+y252=sin2ωt+cos2ωt;
x232+y252=1.
Получили каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат (рис. 1).
Найдем и укажем на рис. 1 положение точки M0(x0;y0) на траектории ее движения в начальный момент времени (t=0) и M1(x1;y1) в момент времени t1.
x0=3sin(ω∙0)=0;y0=5cos(ω∙0)=5 м,
M00;5.
x1=3sin(ω∙1);y1=5cos(ω∙1).
В задании не задано значение ω. Пусть ω=π6. Тогда
x1=3sinπ6∙1=1,5 м;y1=5cosπ6∙1=4,33 м.
M11,5;4,33.
Укажем на рис. 1 найденные точки M0 и M1.
2. Определим и построим по составляющим Vx и Vy вектор V линейной скорости точки. Проекции вектора линейной скорости на координатные оси и его модуль определим по формулам:
Vx=dxdt=x=3∙π6cosπ6t=π2cosπ6t;
Vy=dydt=y=-5π6sinπ6t.
V=Vx2+Vy2.
Определим зависимость скорости точки от времени.
V=Vx2+Vy2=π2cosπ6t2+-5π6sinπ6t2=
=π24cos2π6t+π24259sin2π6t=
=π2cos2π6t+sin2π6t+169sin2π6t=π21+169sin2π6t
Vt=π21+169sin2π6t.
При t1=1с
V1x=π2cosπ6∙1=1,360 мс;
V1x=1,360 мс.
V1y=-5π6sinπ6∙1=-1,309 мс;
V1y=-1,309 мс.
V1=1,3602+-1,3092=1,888 мс;
V1=1,888 мс.
Построим скорость точки на рис. 1 в соответствующем масштабе.
Определим ускорения точки:
ax=dVxdt=x=-π212sinπ6t;
ay=dVydt=y=-5π236cosπ6t.
a=ax2+ay2.
При t1=1с
a1x=-π212sinπ6∙1=-0,411мс2;
a1x=-0,411мс2.
a1y=-5π236cosπ6∙1=-1,187 мс2;
a1y=-1,187 мс2.
a1=a1x2+a1y2=-0,4112+(-1,187)2=1,256 мс2
a1=1,256 мс2.
Чтобы найти проекции ускорения на оси естественной координатной системы (тангенциальная и нормальная оси), продифференцируем выражение V2=Vx2+Vy2, получим:
2VdVdt=2VxdVxdt+2VydVydt,
откуда тангенциальное ускорение точки
aτ=dVdt=Vxax+VyayV.
При t1=1с
a1τ=V1xa1x+V1ya1yV1=1,360∙-0,411-1,309∙(-1,187) 1,888=0,527мс2.
a1τ=0,527мс2.
Определим нормальное ускорение:
an=a2-aτ2.
При t1=1с
a1n=a12-a1τ2=1,2562-0,5272=1,140 мс2.
a1n=1,140мс2.
В выбранном масштабе построим также векторы тангенциального и нормального ускорений.
Равенство геометрических сумм векторов ax и ay, а также векторов aτ и an, одному и тому же вектору a (при построении в одном масштабе) свидетельствует о корректности проведенных аналитических вычислений и точности построений
. У нас получилось идеальное совпадение.
Радиус кривизны траектории определим из выражения нормального ускорения:
an=V2ρ;
ρ=V2an.
438152308860-5
-4
-3
-2
-1
5
4
3
1
6
y
x
Длина, м:
M00;5.
M11,5;4,33.
x232+y252=1.
V1x=1,360 мс.
V
Vy
Скорость, мс:
0
1
2
Ускорение, мс2:
0
0,25
0,5
0
0,25
0,5
Масштабы
Vx
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
ay
ax
a
aτ
2
an
P
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
