Теорема об изменении кинетической энергии. Механическая система состоит из груза
.pdf
Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥
Механическая система состоит из груза 1, цилиндрического однородного сплошного катка 2, радиусом R2=0,4 м, ступенчатого шкива 3, радиусами R3=0,5 м, r3=0,25 м. масса шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Тела системы соединены друг с другом нитями, намотанными на шкив и каток. Участки нитей параллельны соответствующим плоскостям.
Под действием сил тяжести и силы F система приходит в движение из состояния покоя. При движении на шкив 3 действует постоянный момент сил сопротивлений M3. Массы тел – m1,m2, m3 заданы.
Определить скорость VC1 груза 1 в момент времени, когда перемещение точки приложения силы F станет равным s1.
Исходные данные
Вариант m1
m2
m3
R2
R3
r3
M3
α
s1
F
кг
м
Н∙м
град м
Н
23
1,5
3
2
0,4
0,5
0,25
3
30
1,0
410
Нужно полное решение этой работы?
Решение
Рассмотрим движение неизменяемой механической системы. Она состоит из весомых тел 1, 2 и 3.
Изобразим действующие на систему внешние активные силы: силы тяжести P1, P2, P3; реакции опор N1, N2; сила F, действующая на тело 1, по направлению его движения.
2. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии в интегральной форме, являющейся законом сохранения механической энергии для системы:
T-T0=Ake+Aki, (1)
где T0 и T- соответственно начальная и конечная кинетическая энергия системы; Ake- суммарная работа всех внешних сил; Aki- суммарная работа всех внутренних сил.
-38101480185P2
N3
F
A
VA
VB
C2
ω3
23
30°
P1
1
2
P3
VK
s1
VC1
C1
VC2
K
C3
x
ω2
ω2
M3
N2
B
L
3
φ3
R2
r3
R3
00P2
N3
F
A
VA
VB
C2
ω3
23
30°
P1
1
2
P3
VK
s1
VC1
C1
VC2
K
C3
x
ω2
ω2
M3
N2
B
L
3
φ3
R2
r3
R3
Рассматриваемая механическая система по условиям задачи состоит из абсолютно твердых тел, соединенных идеальной (нерастяжимой и невесомой) нитью. Для таких систем с идеальными связями не возникают внутренние силы, следовательно, сумма работ всех внутренних сил равна нулю
Aki=0.
Т.к
. в начальный момент система находилась в покое, то T0=0, а конечная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий всех весомых тел:
T=T1+T2+T3. (2)
Тело 1 движется поступательно, следовательно,
T1=12m1VC12, (3)
где VC1- скорость его центра масс (ЦМ).
Точка A тела 3 движется такой же скоростью, как и ЦМ тела 1:
VA=VC1
Определим угловую скорость тела 3:
ω3=VAR3=VС1R3.
Тело 3 совершает только вращательное движение вокруг неподвижной оси, поэтому его кинетическая энергия
T3=12I3ω32,
где момент его инерции I3=m3R32 (по условию, масса шкива 3 распределена по внешнему ободу).
Тогда
T3=12m3R32ω32=12m3R32∙VAR32=12m3VC12.
T3=12m3VC12. (4)
Скорость точки B
VB=ω3r3=r3R3VC1
Теперь переходим к катку 2, где нас ждет самое интересное.
Точка B и K имеют одинаковую скорость:
VK=VB=r3R3VC1.
Тело 2 движется плоскопараллельно, поэтому его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения его ЦМ и вращательного движения вокруг мгновенного центра скоростей L с угловой скоростью ω2:
T2=12m2VC22+12IC2ω22.
(в скобках заметим, что плоскопараллельное движение обладает замечательным свойством: угловая скорость вокруг любой его точки одинаково; поэтому угловая скорость вокруг МЦС и вокруг ЦМ равны; последнее определяет кинетическую энергию вращения).
По условию задачи тело 2 сплошной, однородный цилиндр, поэтому
IC2=12m2R22.
Тогда
T2=12m2VC22+12∙12m2R22∙ω22.
Выражаем ω2 и VC2 через VC1.
ω2=VK2R2=r32R2R3VC1.
VC2=ω2R2=r32R3VC1.
Для кинетической энергии тела 2 получим:
T2=12m2VC22+14m2R22∙ω22=12m2r32R3VC12+14m2R22r32R2R3VC1=
=34m2r32R32VC12;
T2=34m2r32R32VC12
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
