Техническая система состоит из n=4 одинаковых элементов, работающих независимо друг от друга. Длительность безотказной работы каждого элемента имеет экспоненциальное распределение с параметром λ=6. Длительность ремонта отказавшего элемента имеет экспоненциальное распределение с параметром μ=12. Ремонт осуществляет m=2 ремонтных бригады, которые работают независимо друг от друга. Каждая бригада может ремонтировать не более одного элемента.
1. Построить математическую модель функционирования описанной системы в виде марковского случайного процесса ξt, где ξt – число работоспособных элементов в момент времени t. Показать что ξt – процесс гибели и размножения.
2. Найти предельное распределение случайного процесса ξt, используя известные формулы для предельного распределения ПГР.
3. Найти предельное распределение случайного процесса ξt, используя свойства траекторий марковского процесса и стационарное распределение вложенной цепи Маркова. Сравнить полученные результаты.
Решение
1. Представим граф состояний марковского процесса, описывающего функционирование системы. Множество состояний процесса задано следующим образом: E=0,1,2,3,4 - по числу работоспособных элементов:
Поясним представленный граф.
Из состояния 0 (все элементы не работают) процесс может перейти только в состояние 1 с интенсивностью 2μ (любая из двух бригад закончила ремонт одного из четырех неработающих элементов).
Из состояния 1 (один элемент работает) процесс может перейти в состояние 2 с той же интенсивностью 2μ (любая из бригад закончила ремонт), а в состояние 0 – с интенсивностью λ (отказал последний из работающих элементов).
Из состояния 2 (два элемента работают) процесс может перейти в состояние 3 с интенсивностью 2μ (любая из бригад закончила ремонт), а в состояние 1 – с интенсивностью 2λ (отказал один из двух работающих элементов).
Из состояния 3 (три элемента работают) процесс может перейти в состояние 4 с интенсивностью μ (бригада закончила ремонт отказавшего элемента), а в состояние 2 – с интенсивностью 3λ (отказал один из трех работающих элементов).
Из состояния 4 (все элементы работают) процесс может перейти только в состояние 3 с интенсивностью 4λ (отказал любой из четырех элементов).
Марковским процессом гибели и размножения с непрерывным временем называют такой случайный процесс, который может принимать только целые неотрицательные значения; изменения этого процесса могут происходить в любой момент времени, при этом в любой момент времени он может либо увеличиться на единицу, либо уменьшиться на единицу, либо статься неизменным
. Граф состояний такого процесса можно представить в виде цепочки, в которой каждое из внутренних состояний связано прямой и обратной связью с каждым из соседних состояний, а крайние состояния – только с одним соседним состоянием.
Как видим, наш случайный процесс отвечает требованиям, предъявляемым к процессам гибели и размножения.
2
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
