Средствами векторной алгебры вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках М1, М2, М3, М4 и его высоту, опущенную из вершины М4, на грани М1 М2 М3.
М1(-1;2;-3), М2(4; -1;0), М3(2;1; -2), М4(3;4;5)
Решение
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Мi; xj, yj, zj - координаты точки Мj;
Например, для вектора М1М2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 4-(-1); Y = -1-2; Z = 0-(-3)
М1М2(5;-3;3)
М1М3(3;-1;1)
М1М4(4;2;8)
М2М3(-2;2;-2)
М2М4(-1;5;5)
М3М4(1;3;7)
Объем тетраэдра, построенный на векторах М1(X1;Y1;Z1), М2(X2;Y2;Z2), М3(X3;Y3;Z3) равен:
X1 Y1 Z1
X2 Y2 Z2
X3 Y3 Z3
5 -3 3
3 -1 1
4 2 8
=40/6=6,67
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1
x3-x1 y3-y1 z3-z1
= 0
Уравнение плоскости A1A2A3
x+1 y-2 z+3
5 -3 3
3 -1 1
= 0
(x+1)((-3)·1-(-1)·3) - (y-2)(5·1-3·3) + (z+3)(5·(-1)-3·(-3)) = 4y + 4z + 4 = 0
Упростим выражение: y + z + 1 = 0
Уравнение высоты тетраэдра через вершину A4(3,4,5).
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости М1М2М3: y + z + 1 = 0
на новый заказ в Автор24.
