Случайная величина задана интегральной функцией F(x)

Так как по условию случайная величина непрерывна, то по определению её функция распределения непрерывна на всей числовой оси. Из условия следует, что функция распределения может иметь разрывы только в двух точках x=2 и x=3. Для непрерывности достаточно, чтобы предел слева в этих точках равнялся пределу справа. Найдём эти пределы:
limx→2+0F(x)=limx→2+0λx-22=λ2-22=0
limx→2-0F(x)=limx→2-00=0
Пределы в точке x=2 равны.
limx→3-0F(x)=limx→3-0λx-22=λ3-22=λ
limx→3+0F(x)=limx→3+01=1
Получим: λ=1
Таким образом:
Fx=0при x≤2x-22при 2<x≤31при x>3
Найдем функцию плотности распределения f(x) как производную функции F(x):
fx=F'x=0при x≤22x-2при 2<x≤30при x>3
Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X
MX=-∞+∞xfxdx=-∞2(x∙0)dx+23(x∙2x-2)dx+3+∞(x∙0)dx==23(2x2-4x)dx=2x33-2x223=2∙273-2∙9-2∙83+2∙4=83
DX=-∞+∞x2fxdx-MX2=-∞2x2∙0dx+23x2∙2x-2dx++3+∞x2∙0dx-169=232x3-4x2dx-169=2x44-4x3323-169==2∙814-4∙273-2∙164+4∙83-169=4012-36-8+96-169=-312++809=9718
σ=D(X)=9718=2,321
Построим графики интегральной и дифференциальной функций
Рис