Случайная величина X имеет плотность px=Acosx

Коэффициент A найдем исходя из того, что:
-∞∞p(x)dx=1
-∞∞p(x)dx=A-π2π2cosxdx=Asinxπ2-π2=Asinπ2-sin-π2 =2A
2A=1 => A=12
px=12cosx, x≤π20, x>π2
Составим функцию распределения:
Fx=-∞xftdt
x≤-π2
Fx=-∞xftdt=-∞x0dt=0
-π2<x≤π2
Fx=-∞-π20dt+-π2x12costdt=12(sint)x-π2=12sinx+12
x>π2
Fx=-∞-π20dt+-π2π212costdt+π2x0dt=1
Fx=0, x≤-π212sinx+12, -π2<x≤π2 1, x>π2
Математическое ожидание найдем по формуле:
Mx=-∞∞x∙p(x)dx=12-π2π2xcosxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x dv=cosxdx
du=dx v=sinx
=12xsinxπ2-π2-12-π2π2sinxdx=π4-π4+12cosxπ2-π2=0
Дисперсию найдем по формуле:
Dx=-∞∞x2∙p(x)dx-(Mx)2=12-π2π2x2cosxdx=
Применим формулу интегрирования по частям:
u=x2 dv=cosxdx
du=2xdx v=sinx
=12x2sinxπ2-π2--π2π2xsinxdx=π28+π28--π2π2xsinxdx=π24--π2π2xsinxdx=
Применим формулу интегрирования по частям еще раз:
u=x dv=sinxdx
du=dx v=-cosx
=π24--xcosxπ2-π2+-π2π2cosxdx=π24--π2π2cosxdx=π24-sinxπ2-π2=π24-2
P0<X<π4=Fπ4-F0=12+12sinπ4-12-12sin0=24≈0,354
Построим графики функций: