Случайная величина X в интервале -3 -2 задана плотностью распределения вероятностей fx= Cx2+5x+6

Плотность распределения вероятностей fx должна удовлетворять условию
-∞∞fxdx=1
Для заданной функции
-∞∞fxdx=-∞-30dx+-3-2Cx2+5x+6dx+-2∞0dx=C-3-2x2+5x+6dx=Cx33+5x22+6x-3-2=C-83+10-12+9-452+18=C-1516+25=C∙-16=1
-16C=1 ⟹C=-6
Плотность распределения вероятностей имеет вид
fx=0, при-∞<x≤-3-6x2+5x+6, при-3<x<-20, при-2≤x<+∞
Для нахождения функции распределения вероятностей используем формулу
Fx=-∞xftdt
Если -∞<x≤-3, то fx=0, следовательно,
Fx=-∞x0dt=0
Если -3<x<-2, то
Fx=-∞-30dt-6-3xt2+5t+6dt=-6t33+5t22+6t-3x=-6x33+5x22+6x+9-452+18=-6x33+5x22+6x+92=-2x3+15x2+36x+27
Если -2≤x<+∞, то
Fx=-∞-30dt-6-3-2t2+5t+6dt+-2x0dt=-6t33+5t22+6t-3-2=-6-83+10-12+9-452+18=-6-1516+25=-6∙-16=1
Функция распределения вероятностей имеет вид
Fx=0, при-∞<x≤-3-2x3+15x2+36x+27, при-3<x<-21, при-2≤x<+∞
Математическое ожидание
MX=-∞∞xfxdx=-∞-3x∙0dx-6-3-2x∙x2+5x+6dx+-2∞x∙0dx=-6-3-2x3+5x2+6xdx=-6x44+5x33+3x2-3-2=-64-403+12-814+45-27=-634-160+24312=-6∙512=-52=-2,5
Для нахождения дисперсии предварительно найдем
MX2=-∞∞x2fxdx=-∞-3x2∙0dx-6-3-2x2∙x2+5x+6dx+-2∞x2∙0dx=-6-3-2x4+5x3+6x2dx=-6x55+5x44+2x3-3-2=-6-325+20-16+2435-4054+54=-62115-4054+58=-6∙844-2025+116020=-6∙-2120=6310=6,3
Дисперсия
DX=MX2-MX2=6,3--2,52=6,3-6,25=0,05
Стандартное отклонение
σX=DX=0,05≈0,2236
Ответ: C=-6; Fx=0, при-∞<x≤-3-2x3+15x2+36x+27, при-3<x<-21, при-2≤x<+∞; MX=-2,5; DX= 0,05;
σX≈0,2236.