Система S может находиться в 2-х состояниях. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по теории вероятности
Система S может находиться в 2-х состояниях

Система S может находиться в 2-х состояниях .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Система S может находиться в 2-х состояниях. В начальный момент времени система находится во 2-м состоянии. В системе протекает марковский процесс с непрерывным временем, интенсивности простейших потоков, переводящих систему из состояния в состояние, указаны на размеченном графе: Записать систему дифференциальных уравнений Колмогорова, найти вероятности состояний, решив систему операционным методом. Найти предельные вероятности состояний предельным переходом.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Систему дифференциальных уравнений Колмогорова записываем по размеченному графу состояний (производная вероятности состояния равняется сумме входящих поток вероятностей за вычетом исходящих потоков):
dP1dt=-4P1+3P2dP2dt=4P1-3P2
Найдем решение полученной системы уравнений операционным методом . Применяем преобразование Лапласа (т.к. начальный момент времени система находится во 2-м состоянии, то P10=0,P20=1):
P1 P1p
dP1dt pP1p-P10= pP1p
P2 P2p
dP2dt pP2p-P20= pP2p-1
И получаем систему операторных уравнений:
pP1p=-4P1p+3P2ppP2p-1=4P1p-3P2p
Или:
p+4P1p-3P2p=0-4P1p+p+3P2p=1
Решаем ее, например, по формулам Крамера:
∆=p+4-3-4p+3=p+4p+3-12=p2+7p=pp+7
∆1=0-31p+3=3
∆2=p+40-41=p+4
Тогда:
P1p=∆1∆=3pp+7=371p-1p+7
P2p=∆2∆=p+4pp+7=1p+7+4pp+7=1p+7+471p-1p+7=
=47∙1p+37∙1p+7
Используя соотношения:
1 1p
e-ax 1p+a
Восстанавливаем оригиналы и находим решение системы:
P1t=371-e-7tP2t=47+37e-7t
Предельные вероятности состояний находим предельным переходом.
P1=limt→∞P1t=limt→∞371-e-7t=37
P2=limt→∞P2t=limt→∞47+37e-7t=47

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу