Система S может находиться в 2-х состояниях

Систему дифференциальных уравнений Колмогорова записываем по размеченному графу состояний (производная вероятности состояния равняется сумме входящих поток вероятностей за вычетом исходящих потоков):
dP1dt=-4P1+3P2dP2dt=4P1-3P2
Найдем решение полученной системы уравнений операционным методом . Применяем преобразование Лапласа (т.к. начальный момент времени система находится во 2-м состоянии, то P10=0,P20=1):
P1 P1p
dP1dt pP1p-P10= pP1p
P2 P2p
dP2dt pP2p-P20= pP2p-1
И получаем систему операторных уравнений:
pP1p=-4P1p+3P2ppP2p-1=4P1p-3P2p
Или:
p+4P1p-3P2p=0-4P1p+p+3P2p=1
Решаем ее, например, по формулам Крамера:
∆=p+4-3-4p+3=p+4p+3-12=p2+7p=pp+7
∆1=0-31p+3=3
∆2=p+40-41=p+4
Тогда:
P1p=∆1∆=3pp+7=371p-1p+7
P2p=∆2∆=p+4pp+7=1p+7+4pp+7=1p+7+471p-1p+7=
=47∙1p+37∙1p+7
Используя соотношения:
1 1p
e-ax 1p+a
Восстанавливаем оригиналы и находим решение системы:
P1t=371-e-7tP2t=47+37e-7t
Предельные вероятности состояний находим предельным переходом.
P1=limt→∞P1t=limt→∞371-e-7t=37
P2=limt→∞P2t=limt→∞47+37e-7t=47