Система связи состоит из четырех независимых каналов. Каждый канал характеризуется своей долей в общем потоке исходящих сообщений, а также определенной вероятностью успешной передачи сообщения.
Доля канала в общем потоке исходящих сообщений Вероятность успешной передачи через канал
№1 №2 №3 №4 №1 №2 №3 №4
13% 9% 33% 45% 85% 93% 68% 76%
С какой вероятностью исходящее сообщение, выбранное наугад из общего потока:
а) будет передано успешно
б) не будет передано успешно
Вычислить апостериорные вероятности передачи некоторого сообщения через каждый из каналов, если известно, что это сообщение:
а) было получено адресатом
б) не дошло до своего адресата
Истолковать полученные результаты.
Решение
Обозначим события:
A - сообщение передано успешно
Обозначим события, соответствующие передачи сообщения через определенный канал:
B1 - сообщение направлено через канал №1
B2 - сообщение направлено через канал №2
B3 - сообщение направлено через канал №3
B4 - сообщение направлено через канал №4
События Bi взаимоисключающие и составляют полную группу.
По условию:
PB1=0,13 PB2=0,09 PB3=0,33 PB4=0,45
PAB1=0,85 PAB2=0,93 PAB3=0,68 PAB4=0,76
При наличии полной группы вероятность любого события можно вычислить по формуле полной вероятности:
PA=i=1nPBi∙PABi
PA=0,13∙0,85+0,09∙0,93+0,33∙0,68+0,45∙0,76=
=0,1105+0,0837+0,2244+0,342=0,7606
Если сообщение отправлено, но безуспешно, то имеет место событие A - событие противоположное событию A.
PA=1-PA=1-0,7606=0,2394
Для расчета апостериорных вероятностей передачи сообщения применим формулу Байеса:
PBiA=PBi∙PABiP(A)
PB1A=PB1∙PAB1P(A)=0,13∙0,850,7606=0,11050,7606≈0,1453
PB2A=PB2∙PAB2P(A)=0,09∙0,930,7606=0,08370,7606≈0,11
PB3A=PB3∙PAB3P(A)=0,33∙0,680,7606=0,22440,7606≈0,295
PB4A=PB4∙PAB4P(A)=0,45∙0,760,7606=0,3420,7606≈0,4497
Те же формулы Байеса используются для расчета апостериорных вероятностей через определенный канал (при состоявшемся безуспешном исходе A)
PBiA=PBi∙PABiP(A)
PAB1=1-PAB1=1-0,85=0,15
PAB2=1-PAB2=1-0,93=0,07
PAB3=1-PAB3=1-0,68=0,32
PAB4=1-PAB4=1-0,76=0,24
PB1A=PB1∙PAB1P(A)=0,13∙0,150,2394=0,01950,2394≈0,0815
PB2A=PB2∙PAB2P(A)=0,09∙0,070,2394=0,00630,2394≈0,0263
PB3A=PB3∙PAB3P(A)=0,33∙0,320,2394=0,10560,2394≈0,4411
PB4A=PB4∙PAB4P(A)=0,45∙0,240,2394=0,1080,2394≈0,4511
Таким образом, если сообщение было передано, то наиболее вероятно, это было сделано через 4 канал, а наименее вероятно через 2 канал.
Если сообщение не было передано, то наиболее вероятно, это было сделано через 4 канал, а наименее вероятно через 2 канал.
Ответ: PA=0,7606, PA=0,2394
Апостериорные вероятности:
PBiA
PBiA
B1
B2
B3
B4
B1
B2
B3
B4
0,1453 0,11 0,295 0,4497 0,0815 0,0263 0,4411 0,4511
Заказать работу
на новый заказ в Автор24.
