В треугольник с вершинами (0 0) (2 0) (0,1) случайным образом бросается точка, координаты которой обозначим X, Y.

Сделаем схематический рисунок:
Треугольник задается следующим образом:
- относительно y:
D=0≤x≤20≤y≤2-x2
- относительно x:
D=0≤y≤10≤x≤21-y
Поскольку точка бросается случайным образом, то плотность совместного распределения (с учетом того, что площадь исходного треугольника равняется единицы) имеет вид
ρX,Yx,y=1S∆=1,x;y∈D0,x;y∉D
Совместная же функция распределения FX,Y(x, y) равняется нулю для координатных четвертей II=IV, а для координатной плоскости I она будет равняться площади части треугольника, расположенной в области X<x,Y<y, т.е . например:
Записывая в общем виде:
FX,Yx, y=0,x≤0 или y≤00x02-x2dydx,x≤20y021-ydxdy,y≤11,x>2 и y>1
Найдем частные распределения случайных величин X, Y:
ρXx=02-x2ρX,Yx,ydy=02-x2dy=2-x2,x∈0;2
ρyy=021-yρX,Yx,ydx=02(1-y)dx=21-y,y∈0;1
Чтобы найти распределение случайной величины S =𝑋𝑌 (площади прямоугольника), сделаем схематический рисунок:
Отметим, что максимальное значение площади достигается при значениях x=1,y=12, т.е