Схема № 2
Дана двуопорная балка, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 8 кН/м, сосредоточенная сила F = 26 кН и момент М = 8 кН⋅м. Длины участков зависят от параметра l = 9 м.
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Определить опасные сечения и из условия прочности подобрать номер двутавра.
Определить прогибы в середине межопорного пролета и на конце консоли, используя универсальное уравнение изогнутой оси балки (уравнение начальных параметров), (при отсутствии консоли величину второго прогиба определить в сечении, отстоящем от правой шарнирной опоры величину l/4) и построить упругую линию балки.
Решение
Составим уравнения равновесия и определим реакции опор:
MA=0;-q⋅l422+M-F·l2+RB⋅l=0;
RB=q⋅l422-M+F·l2l=8⋅9422-8+26·929=14,36 кН.
MB=0;-RA·l+q⋅l4⋅3l4+l8+M+F·l2=0;
RA=q⋅l4⋅7l8+M+F·l2l=8⋅7⋅9232+8+26·929=29,64 кН.
Fx=0;RA-q·l4-F+RB=0;29,64-8·94-26+14,36=0
Для построения эпюр M и Q балку необходимо разбить на грузовые участки. Балка, представленная на рабочей схеме, имеет три выраженных участка. Используя метод сечений отсчет координат производим от начала каждого участка.
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1≤l4=2,25 м
Qx1=RA-qx1; Qx1=0=RA=29,64 кН;Qx1=l4=RA-q⋅l4=29,64-8⋅94=11,64 кН;
Mx1=RAx1-qx122; Mx1=0=0 ;Mx1=l4=RAl4-ql422 =29,64⋅94-9⋅9422=46,14 кН⋅м
2-й участок 0≤x2≤l4=2,25 м
Qx2=RA-q⋅l4=29,64-8⋅94=11,64 кН;
Mx2=RAl4+x2-q⋅l4⋅l8+x2-M;
Mx2=0=RA⋅l4-q⋅l4⋅l8-M=29,64⋅94-8⋅9⋅9422-8=38,44 кН⋅м;
Mx2=l4=RAl4+l4-q⋅l4⋅l8+l4-M=29,6494+94-8⋅94⋅98+94-8=64,62 кН⋅м;
3-й участок 0≤x3≤l2
Qx3=-RB=-14,36 кН;
Mx3=RBx3;
Mx3=0=0;
Mx3=l2=RBl2=29,64⋅92=64,62 кН⋅м
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Составляем условие прочности для деревянной балки круглого сечения.
σmax=Mx maxWx≤σ=10 МПа,
Так как Mz max=64,62 кН⋅м, то
Wz≥64,62⋅10310⋅106=6,46⋅10-3 м3=646 см3
Для круглого сечения
Wx=πd332
Тогда
d= 332Wzπ=332⋅646π=7,44 см
Опасным сечением является точка действия силы F, где Mx max=64,62 кН·м, Qy max=14,36 кН
Составляем условие прочности для балки c двутавровым поперечным сечением:
σmax=Mx maxWx≤σ=160 МПа
[Wx]=Mx maxσmax=64,62⋅103160⋅106=403,8 см3
Для расчетного значения [Wx] выбираем из таблицы сортамента двутавр № 27а Wx=407 см3 и A=43,2 см2
Тогда
σдейств=MmaxWx=64,62⋅103407⋅10-6=158,7 МПа
При этом недогруз составит:
П=σдейств-σσ·100%=158,7-160160·100%=-0,81%
Так как недогруз может быть не больше 15%, то принимаем двутавр № 27а.
Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения.
Геометрические характеристики двутавра № 27а h=270 мм, b=135 мм, d=6 мм, t=10,2 мм,Wx=407 см3,Jx=5500 см4,Sx'=229 см3
По формуле Журавского имеем:
τu=Q(max)∙Sxотсb*∙Jx
где Sxотс - статический момент отсеченной части площади расположенной выше рассматриваемой точки.
Sxотс=t·bh12-y2
для точки «1» сечения (b*=b=135 мм):
Sxотс=0; τu(1)=0.
для точки «2» сечения b*=b=135 мм и b*=t=10,2 мм:
Sxотс=t·bh12-t2 =10,2·135⋅2702-10,22≃178872 мм3178,9 см3;
τu2=29,64·103· 14,36⋅10-6 135·10-3·5500 ·10-8≃0,57 МПа,τu(2)*=29,64·103· 14,36⋅10-6 10,2·10-3·5500 ·10-8≃7,9 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
