Схема № 2
Дана двуопорная балка, на которую действуют: равномерно распределенная нагрузка q = 4 кН/м, сосредоточенная сила F = 20 кН и момент М = 10 кН⋅м. Длины участков зависят от параметра l = 4 м.
Определить опорные реакции.
Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.
Определить опасные сечения и из условия прочности подобрать номер двутавра.
Определить прогибы в середине межопорного пролета и на конце консоли, используя универсальное уравнение изогнутой оси балки (уравнение начальных параметров), (при отсутствии консоли величину второго прогиба определить в сечении, отстоящем от правой шарнирной опоры величину l/4) и построить упругую линию балки.
Решение
Составим уравнения равновесия и определим реакции опор:
MA=0;-M-q⋅2·2+22-F·3+RB⋅4=0;
RB=M+q⋅2·2+22+F·34=10+4⋅2·2+22+20·34=23,5 кН.
MB=0;RA·4-M+q⋅222+F·1=0;
RA=-M+q⋅222+F·14=-10+4⋅222+20·14=4,5 кН.
Fx=0;RA-q·2-F+RB=0;4,5-4·2-20+23,5=0
Для построения эпюр M и Q балку необходимо разбить на грузовые участки. Балка, представленная на рабочей схеме, имеет четыре выраженных участка. Используя метод сечений отсчет координат производим от начала каждого участка.
Находим поперечные силы и изгибающие моменты.
1-й участок 0≤x1≤1 м
Qx1=RA=-4,5 кН;
Mx1=RAx1; Mx1=0=0 ;Mx1=1м=4,5·1 =4,5 кН⋅м
2-й участок 0≤x2≤1 м
Qx2=RA=4,5 кН;
Mx2=RA(1+x2)+M;
Mx2=0=RA·1+M=4,5·1+10=14,5 кН⋅м;
Mx2=1 м=RA·2+M=4,5·2+10=19,5 кН⋅м;
3-й участок 0≤x3≤1 м
Qx3=RA-q·x3;
Qx3=0=RA=4,5 кН;
Qx3=1 м=RA-q·1=4,5-4·1=0,5 кН;
Mx3=RA·2+x3-q·x322+M;
Mx3=0=-RA·2+M=4,5·2+10=19 кН⋅м;
Mx3=1 м=RA·2+1-q·122+10=4,5·2+1-4·122+10=21,5 кН⋅м
4-й участок 0≤x4≤1 м
Qx4=RA-q·(1+x4)-F;
Qx4=0=RA-q·1-F=4,5-4·1-20=-19,5 кН;
Qx4=1 м=RA-q·2-F=4,5-4·2-20=23,5 кН;
Mx4=RA·3+x4+M-q·1+x422-Fx4;
Mx4=0=RA·3+M-q·122=4,5·2+1-4·122+10=21,5 кН⋅м
Mx4=1 м=RA·3+1+M-q·1+122-F·1=4,5·3+1+10-4·222-20·1=0
Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.
Составляем условие прочности для деревянной балки круглого сечения.
σmax=Mx maxWx≤σ=10 МПа,
Так как Mz max=21,5 кН⋅м, то
Wz≥21,5⋅10310⋅106=2,15⋅10-3 м3=2150 см3
Для круглого сечения
Wx=πd332
Тогда
d= 332Wzπ=332⋅2150π=28 см
Опасным сечением является точка действия силы F, где Mx max=21,5 кН·м;Qy max=-19,5 кН
Составляем условие прочности для балки c двутавровым поперечным сечением:
σmax=Mx maxWx≤σ=160 МПа
[Wx]=Mx maxσmax=21,5⋅103160⋅106=134 см3
Для расчетного значения [Wx] выбираем из таблицы сортамента двутавр № 18 Wx=143 см3 и A=23,4 см2
Тогда
σдейств=MmaxWx=21,5⋅103143⋅10-6=150,3 МПа
При этом недогруз составит:
П=σдейств-σσ·100%=150,3-160160·100%=-6,06%
Так как недогруз может быть не больше 15%, то принимаем двутавр № 18.
Построение эпюр распределения напряжений для двутаврового сечения.
Геометрические характеристики двутавра № 18 h=180 мм, b=90 мм, d=5,1 мм, t=8,1 мм,A=23,4 см2,Wx=143 см3,Jx=1290 см4,Sx'=81,4 см3
По формуле Журавского имеем:
τu=Q(max)∙Sxотсb*∙Jx
где Sxотс - статический момент отсеченной части площади расположенной выше рассматриваемой точки.
Sxотс=t·bh12-y2
для точки «1» сечения (b*=b=90 мм):
Sxотс=0; τu(1)=0.
для точки «2» сечения b*=b=90 мм и b*=d=5,1 мм:
Sxотс=t·bh12-t2 =8,1·90⋅1802-8,12≃62658 мм362,66 см3;
τu2=19,5·103· 62,68⋅10-6 90·10-3·1290 ·10-8≃1,05 МПа,τu(2)*=19,5·103· 62,68⋅10-6 5,1·10-3·1290 ·10-8≃18,57 МПа
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
