С помощью правила множителей Лагранжа проверить. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
С помощью правила множителей Лагранжа проверить

С помощью правила множителей Лагранжа проверить .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

С помощью правила множителей Лагранжа проверить, является ли точкой экстремума (минимума, максимума) вектор x=(1, 1, 1) в задаче x1x2+x1x3+x2x3→extr, 2x13x22x3+4x12+5x22+6x32=17. (1)

Нужно полное решение этой работы?

Ответ

x=(1, 1, 1) – является как точкой локального максимума, так и точкой локального минимума. Целевая функция – эллиптический конус:

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Составляем функцию Лагранжа:
Lλ0,λ1,x=λ0x1x2+x1x3+x2x3+λ12x13x22x3+4x12+5x22+6x32-17.
Дифференцируя функцию Лагранжа по компонентам вектора x, приходим к уравнениям:
λ0x2+x3+λ16x12x22x3+8x1=0,
λ0x1+x3+λ14x13x2x3+10x2=0,
λ0x1+x2+λ12x13x22+12x3=0.
Данные уравнения вместе с ограничением (1) образуют систему алгебраических уравнений для определения стационарных точек задачи.
Определим λ0, λ1 для заданной точки x=1, 1, 1:
λ01+1+λ16∙1∙1∙1+8∙1=0,
λ01+1+λ14∙1∙1∙1+10∙1=0,
λ01+1+λ12∙1∙1+12∙1=0.
Таким образом, получаем уравнение 2λ0+14λ1=0 . В силу условия нетривиальности множителей Лагранжа, полагаем, что λ0=1, λ1=-17.
Составляем матрицу вторых производных по x функций Лагранжа
∂2Lλ0*,λ1*,x*∂x2=λ1∙12x1x22x3+8λ0+λ1∙12x12x2x3λ0+λ1∙6x12x22λ0+λ1∙12x12x2x3λ1∙4x13x3+10λ0+λ1∙4x13x2λ0+λ1∙6x12x22λ0+λ1∙4x13x2λ1∙12λ0=1,λ1=-17.=-207-5717-57-2371737-127.
-207<0;
-20/7-5/7-5/7-2=25549>0;
-20/7-5/71/7-5/7-23/71/73/7-12/7=-2896343<0.
Таким образом, матрица вторых производных является строго отрицательноопределенной, следовательно, в точке x=(1, 1, 1) – точка локального максимума

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу