С использованием метода моментов для случайной выборки

Найдём математическое ожидание (момент первого порядка):
Mx=0+∞xfxdx
В нашем случае получаем:
Mx=0+∞2θx2e-θx2dx=u=xdv=2θxe-θx2dxdu=dxv=e-θx2dθx2=-e-θx2=
=-xe-θx20+∞+0+∞e-θx2dx=-lima→+∞aeθa2+0+∞e-x22∙12θdx
Поскольку по правилу Лопиталя
lima→+∞aeθa2=lima→+∞12θaeθa2=0
Получаем
Mx=0+∞e-x22∙12θdx=12θ ∙2π∙112θ∙2π0+∞e-x22∙θ2dx=
=πθ∙12=π2θ.
Таким образом, если x=1ni=1nxi – выборочное среднее, то оценка параметра θ:
θ=π4(x)2