Решите задачу Коши для уравнения y'=2x-y,y(1)=1 численно с шагом h=0.1 на отрезке [1,1.6]
а) методом Эйлера;
б) модифицированным методом Эйлера;
в) на отрезке [1,1.3] методом Рунге-Кутты 4го порядка аппроксимации;
г) найти точное аналитическое решение и сравнить с численными методами, определив погрешности в узлах сетки.
Решение
А) Найдем приближенное решение задачи Коши на отрезке [1,1.6] методом Эйлера
Рассчитаем сетку по формуле:
xi=x0+ih, h=0.1, N=1.6-1h,
x0=1.0
x1=1.1 x2=1.2
x3=1.3
x4=1.4
x5=1.5
x6=1.6
Приближенные значения yi(x) решения уравнения в узлах сетки xi определяются по следующей формуле:
yi+1=yi+h∙fxi, yi i=0,1,2…
yi+1=yi+h2xi-yi
y0=1
y1=y0+h∙2x0-y0=1+0.12∙1-1=1.1
y2=y1+h∙2x1-y1=1.1+0.12∙1.1-1.1=1.21
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
i
xi
yi
f(xi;yi) hf(xi;yi)
0 1 1 1 0,1
1 1,1 1,1 1,10000 0,11000
2 1,2 1,21000 1,19000 0,11900
3 1,3 1,32900 1,27100 0,12710
4 1,4 1,45610 1,34390 0,13439
5 1,5 1,59049 1,40951 0,14095
6 1,6 1,73144 1,46856 0,14686
б) Найдем приближенное решение задачи Коши на отрезке [1,1.6] модифицированным методом Эйлера
x0=1.0
x1=1.1 x2=1.2
x3=1.3
x4=1.4
x5=1.5
x6=1.6
Приближенные значения yi(x) решения уравнения в узлах сетки xi определяются по следующей формуле:
yi+1=yi+h2∙fxi, yi+fxi+1, yi+1 i=0,1,2…
где yi+1=yi+h∙fxi, yi i=0,1,2…
yi+1=yi+h2xi-yi
y0=1
y1=y0+h∙2x0-y0=1+0.12∙1-1=1.1
y1=y0+h2∙fx0, y0+fx1, y1 =1+0,122∙1-1+2∙1,1-1.1=1.105
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
i
xi
yi
f(xi;yi) hf(xi;yi)
0 1 1,00000 1,0000 0,1000 1,1000
1 1,1 1,10500 1,0950 0,1095 1,2145
2 1,2 1,21903 1,1810 0,1181 1,3371
3 1,3 1,34122 1,2588 0,1259 1,4671
4 1,4 1,47080 1,3292 0,1329 1,6037
5 1,5 1,60708 1,3929 0,1393 1,7464
6 1,6 1,74940 1,4506 0,1451 1,8945
в) Найдем приближенное решение задачи Коши на отрезке [1,1.3] методом Рунге-Кутты 4го порядка аппроксимации
Рассчитаем сетку по формуле:
xi=x0+ih, h=0.1, N=1.3-1h,
x0=1.0
x1=1.1 x2=1.2
x3=1.3
Приближенные значения yi(x) решения уравнения в узлах сетки xi определяются по следующим формулам:
yi+1=yi+hki i=0,1,2…
где ki=16(ki1+2ki2+2ki3+ki4)
ki1=f(xi,yi)
ki2=f(xi+h2,yi+h2ki1)
ki3=f(xi+h2,yi+h2ki2)
ki4=f(xi+h,yi+hki3)
y0=1
k01=f(x0,y0)=2x0-y0=2∙1-1=1
k02=fx0+h2,y0+h2k01=2∙1+0.05-(1+0.05∙1)=1.05
k03=fx0+h2,y0+h2k02=2∙1+0.05-1+0.05∙1.05=1.0475
k04=fx0+h,y0+hk03=2∙1+0.1-1+0.1∙1.0475=1.09525
k0=16k01+2k02+2k03+k04=161+2∙1.05+2∙1.0475+1.09525==1.04838
y1=y0+hk0= 1+0.1∙1.04838=1.10484
Дальнейшие вычисления сведем в таблицу:
xi
yi
ki1 ki2 ki3 ki4
ki
1 1,0000000 1,0000000 1,0500000 1,0475000 1,0952500 1,0483750
1,1 1,1048375 1,0951625 1,1404044 1,1381423 1,1813483 1,1389340
1,2 1,2187309 1,1812691 1,2222056 1,2201588 1,2592532 1,2208752
1,3 1,3408184 1,2591816 1,2962225 1,2943705 1,3297445 1,2950187
г) найдем точное аналитическое решение и сравним с численными методами, определив погрешности в узлах сетки
y'=2x-y
Пусть y=uv, y'=u'v+v'u
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
