Решить задачу со свободным концом Jy=12x3y'2+3xy2dx

Тогда:
ddx∂F∂y'=2x3y''+6x2y'
Записываем уравнение Эйлера:
∂F∂y-ddx∂F∂y'=0
6xy-2x3y''+6x2y'=0
Или:
x3y''+3x2y'-3xy=0
Т.к. полученное уравнение – уравнение Эйлера, то частное решение ищем в виде y=xr, где r=const. Тогда для r получаем уравнение:
rr-1+3r-3=0
r2+2r-3=0
r1=1;r2=-3
Получили семейство экстремалей:
y=c1x+c2x3
Граничное условие при x=1 находим из уравнения:
∂F∂y'x=1=0
Имеем:
2∙13∙y'1=0 y'1=0
Находим производную семейства экстремалей:
y'=c1-3c2x4
Подставляем условия y2=4924, y'1=0:
4924=2c1+c280=c1-3c2
Выражая из второго:
c1=3c2
И подставляя в первое:
4924=6c2+c28
Получаем:
c2=13 c1=3c2=1
Получили допустимую экстремаль:
y=x+13x3
Для всякой непрерывно дифференцируемой на [1;2] функции η(x), для которой η2=0 имеем:
∆J=Jy+η-Jy=
=12x3y'+η'2+3x(y+η)2-x3y'2+3xy2dx=
=122x3y'η'+x3η'2+6xyη+3xη2dx
Рассмотрим первое слагаемые с учетом y'1=0, η2=0:
122x3y'η'dx=dv=η'dxv=ηu=2x3y'du=(6x2y'+2x3y'')dx=2x3y'η12=0-12(6x2y'+2x3y'')ηdx
Тогда:
∆J=12x3η'2+6xyη+3xη2-6x2y'+2x3y''ηdx=
=12x3η'2+3xη2-2x3y''+3x2y'-3xy=0, т.к