Решить задачу, построить график решения, изменяющийся во времени в течение одного периода колебания
utt=25uxx+10ux+6e-x5sinπx3, 0<x<3, t>0,
(1)
u0,t=0, u3,t=0,
(2)
ux,0=0, utx,0=0
(3)
Ответ
ux,t=61+25π291-cos1+25π29te-5xsinπx3.
Решение
Проведем замену
ux,t=vx,te-x5.
Подставляем в уравнение (1)
vtte-x5=25vxxe-x5-25vxe-x5+125ve-x5+10vxe-x5-15ve-x5+6e-x5sinπx3
vtt=25vxx-v+6sinπx3, 0<x<3, t>0,
(4)
в граничные условия (2)
u0,t=v0,t=0, u3,t=vx,te-35=0,
v0,t=0, v3,t=0,
(5)
в начальные условия (3)
ux,0=v0,te-x5=0, utx,0=vtx,0e-x5=0
vx,0=0, vtx,0=0.
(6)
Сведем задачу (4) − (6) к задаче с однородным дифференциальным уравнением. Для этого функцию vx,t представим в виде
vx,t=wx,t+fx,
где функция fx удовлетворяет уравнению (4) и граничным условиям (5). Учитывая вид неоднородности в уравнении, функцию fx будем искать в виде
fx=Asinπx3.
Подставляем в уравнение
0=-25A∙π29sinπx3-Asinπx3+6sinπx3
0=-25A∙π29-A+6, ⟹ A=61+25π29
fx=61+25π29sinπx3
Функция fx удовлетворяет граничным условиям (5).
Проведем замену
vx,t=vx,t+61+25π29sinπx3.
Для функции wx,t начально-краевая задача примет вид
wtt=25wxx-w, 0<x<3, t>0,
(7)
w0,t=0, w3,t=0,
(8)
vx,0=wx,0+61+25π29sinπx3=0, vtx,0=wt(x,0)=0
wx,0=-61+25π29sinπx3, wtx,0=0
(9)
Для решения задачи (7) − (9) применим метод Фурье разделения переменных
. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
wx,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в уравнение (7)
Xx∙T''t=25X''x∙Tt-Xx∙Tt
Xx∙T''t+Xx∙Tt=25X''x∙Tt
Разделим равенство на 25Xx∙T(t)
T''(t)25T(t)+125=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
T''t+1+25λTt=0,
X''(x)+λXx=0.
Подставляя wx,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (8), получим
X0⋅Tt=0, X3⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X3=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X3=0
Общее решение имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий (3)
X0=C1=0 X3=C2 sin3λ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin3λ=0,
3λ=πk, k=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λk=πk32, k=1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xkx=sinπkx3, k=1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tk''t+1+25πk32Tkt=0.
Tk''t+1+5πk32Tkt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tkt=Akcosωkt+Bksinωkt,
где собственные частоты колебаний равны
ωk=1+5πk32, k=1,2,…
Решение wx,t представим в виде ряда по собственным функциям
wx,t=k=1∞TktXkx=k=1∞Akcosωkt+Bksinωktsinπkx3,
wtx,t=k=1∞ωk-Aksinωkt+Bkcosωktsinπkx3.
Коэффициенты Ak, Bk этого ряда найдем из начальных условий (2)
wx,0=k=1∞Ak sinπkx3=-61+25π29sinπx3,
wtx,0=k=1∞ωkBk sinπkx3=0.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπkx3k=1∞ из первого равенства следует, что
A1=-61+25π29, Ak=0, k=2,3,…
из второго равенства следует
Bk=0, k=1,2,…
Решение wx,t задачи (7) − (9) имеет вид
wx,t=A1cosω1tsinπx3=-61+25π29cos1+25π29tsinπx3=
Тогда решение сходной задачи (1) − (3) будет
ux,t=e-5x61+25π29sinπx3-61+25π29cos1+25π29tsinπx3=
=61+25π291-cos1+25π29te-5xsinπx3.
Период колебаний равен
ω1T=2π, ⟹ T=2πω1=2π1+25π29≈1,18.
Графики изменения функции ux,t в течение одного периода приведены на рис.1
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
