Решить задачу о колебании однородной струны utt''=a2uxx''

Применим для решения задачи (1) − (3) метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде произведения
ux,t=Xx∙Tt.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙T''t=a2X''(x)∙T(t)
Разделим равенство на a2Xx∙T(t)
T''(t)a2T(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два обыкновенных дифференциальных линейных уравнения
X''(x)+λXx=0,
T''t+a2λTt=0.
Подставляя ux,t в виде Xx∙Tt в граничные условия (2), получим
u0,t=X0⋅Tt=0, uxl,t=X'l⋅Tt=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X0=0, X'l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''(x)+λXx=0X0=0, X'l=0
Характеристическое уравнение для этого ОДУ с постоянными коэффициентами
μ2+λ=0, ⟹ μ=±iλ
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx,
X'x=-λC1sinλx+λC2 cosλx.
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X0=C1=0 X'l=λC2 cosλl=0
Получили следующее спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
cosλl=0,
λl=π2+πn=π(1+2n)2, n=0,1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=π1+2n2l2, n=0,1,2,…
Им соответствуют собственные функции (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=sinπ(1+2n)x2l, n=0,1,2,…
Уравнение для функции Tt примет вид
Tn''(t)+aπ(1+2n)2l2Tnt=0.
Общее решение этого уравнения имеет вид
Tnt=Ancosaπ(1+2n)t2l+Bnsinaπ(1+2n)t2l.
Решение ux,t исходной задачи записывается в виде ряда
ux,t=n=0∞TntXnx=
=n=0∞Ancosaπ(1+2n)t2l+Bnsinaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l,
ut'x,t=n=0∞aπ(1+2n)2l-Ansinaπ(1+2n)t2l++Bncosaπ(1+2n)t2lsinπ(1+2n)x2l.
Коэффициенты An, Bn этого ряда найдем из начальных условий (3)
ux,0=n=0∞An sinπ(1+2n)x2l=x5,
ut'x,0=n=0∞aπ(1+2n)2lBn sinπ(1+2n)x2l=15sin3πx2l.
Учитывая полноту системы собственных функций sinπ(1+2n)x2ln=0∞,
из второго равенства следует
n=1: 3aπ2lB1=15 ⇒ B1=2l15aπ,
остальные
aπ(1+2n)2lBn=0 ⇒ Bn=0, при n≠1.
Коэффициенты An представляют собой коэффициенты разложения функции x/5 в ряд Фурье по собственным функциям sinπ(1+2n)x2ln=0∞
An=2l0lx/5sinπ1+2nx2ldx=25l0l-2lπ(1+2n)x dcosπ(1+2n)x2l=
=-45π(1+2n)xcosπ(1+2n)x2l0l-0lcosπ(1+2n)x2ldx=
=-45π(1+2n)lcosπ(1+2n)2=0-2lπ(1+2n)sinπ(1+2n)x2l0l=
=8l5π21+2n2sinπ1+2n2=8l-1n5π21+2n2.
Таким образом, решение исходной начально-краевой задачи имеет вид
ux,t=B1sin3aπt2lsin3πx2l+n=0∞Ancosaπ1+2nt2lsinπ1+2nx2l=
=2l15aπsin3aπt2lsin3πx2l+n=0∞8l-1n5π21+2n2cosaπ1+2nt2lsinπ1+2nx2l.
Приближенно профили струны в моменты времени t=l4a;5l4a, посчитанные на основе двух ненулевых первых слагаемых тригонометрического ряда будут
ux,l4a=2l15aπsin3π8sin3πx2l+n=0∞8l-1n5π21+2n2cosπ1+2n8sinπ1+2nx2l≈
≈2l15aπsin3π8sin3πx2l+8l5π2cosπ8sinπx2l-8l45π2cos3π8sin3πx2l.
ux,5l4a=2l15aπsin15π8sin3πx2l+n=0∞8l-1n5π21+2n2cos5π1+2n8sinπ1+2nx2l≈
≈2l15aπsin15π8sin3πx2l+8l5π2cos5π8sinπx2l-8l45π2cos15π8sin3πx2l.
Приближенно форма струны в моменты времени t=l4a;5l4a представлена на рис.1