Решить задачу о движении однородной струны

Поперечное смещение точек струны ux,t удовлетворяет одномерному волновому уравнению
ρutt=Tuxx, -l<x<l, t>0
где ρ – линейная плотность материала струны, T – натяжение струны.
utt=a2uxx, -l<x<l, t>0,
(1)
a2=Tρ
Граничные условия (свободные концы):
uxx=-l=0, uxx=l=0,
(2)
Начальные условия:
ux,0=0, utx,0=Iρδ(x),
(3)
где δ(x) − дельта-функция Дирака.
Для решения исходной смешанной задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Будем искать нетривиальное решение задачи в виде
ux,t=Xx∙Ft.
Подставим предполагаемую форму решения в исходное уравнение (1)
Xx∙F''(t)=a2X''x∙Ft.
Разделим равенство на a2Xx∙F(t)
F''(t)a2F(t)=X''xXx=-λ=const,
т.к. левая часть равенства зависит только от t, а правая – только от x.
В результате переменные разделяются, и получается два линейных обыкновенных дифференциальных уравнения
T''t+a2λFt=0,
(8)
X''(x)+λXx=0.
(9)
Подставляя ux,t в виде Xx∙Ft в граничные условия (2), получим
X'-l⋅Ft=0, X'l⋅Ft=0.
Поскольку равенства должны выполняться тождественно, то
X'-l=0, X'l=0.
Таким образом, для функции X(x) получили задачу Штурма-Лиувилля
X''x+λXx=0 X'-l=0, X'l=0
При λ>0:
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C1cosλx+C2 sinλx
Удобнее фундаментальную систему решений взять в виде cosλ(x+l), sinλ(x+l) и решение записать как
Xx=C1cosλ(x+l)+C2 sinλ(x+l)
X'x=-C1λsinλ(x+l)+C2λ cosλ(x+l).
Неизвестные коэффициенты C1, C2 найдем из граничных условий
X'-l=C2λ =0, ⟹ C2=0X'l=-C1λsin2lλ=0
Получили спектральное уравнение для нахождения собственных значений λ задачи Штурма-Лиувилля
sin2lλ=0,
2lλ=πn, n=1,2,…
Собственные значения задачи равны
λn=πn2l2, n=1,2,…
Ии соответствуют собственные функции определяются (с точностью до постоянного множителя)
Xnx=cosπnx+l2l, n=1,2,…
При λ=0:
X''x=0 X'-l=0, X'l=0
Общее решение уравнения имеет вид
Xx=C3+C4x
Неизвестные коэффициенты C3, C4 найдем из граничных условий
X'-l=C4=0X'l=C4=0
Тогда Xx=C3