Решить задачу Коши y''+ay'+by=fx y0=y'0=0

Имеем:
y''-3y'+2y=ex,y0=y'0=0
а) по формуле Дюамеле
Находим решение вспомогательной задачи:
z''-3z'+2z=1,z0=z'0=0
Используем преобразование Лапласа:
z Zp
z' p Zp
z'' p2 Zp
1 1p
И получаем операторное уравнение:
p2 Zp-3p Zp+2Zp=1p
Откуда:
p2-3p+2 Zp=1p
p-2p-1 Zp=1p
Поскольку для формулы Дюамеля нужна z', то можем записать:
pZp=1p-2p-1
pZp=1p-2-1p-1
Откуда:
z'=e2x-ex
И по формуле Дюамеля находим:
y=ex*z'=ex*e2x-ex=0xex-te2t-etdt=
=0x(ex+t-ex)dt=ex+t-tex0x=e2x-ex-xex
б) методом неопределенных коэффициентов
Находим решение соответствующего однородного уравнения:
y''-3y'+2y=0
Записываем и решаем характеристическое уравнение:
k2-3k+2=0
k-2k-1=0
k1=2,k2=1
Т.е