Решить уравнение ∂u∂t=a2∂2u∂x2 для следующего начального распределения температуры стрежня. Бесплатный доступ к решению задач

Реферат.Справочник
Решенные задачи по высшей математике
Решить уравнение ∂u∂t=a2∂2u∂x2 для следующего начального распределения температуры стрежня

Решить уравнение ∂u∂t=a2∂2u∂x2 для следующего начального распределения температуры стрежня .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Решить уравнение ∂u∂t=a2∂2u∂x2, для следующего начального распределения температуры стрежня: ux,0=φ(x)=3, 3<x<8,0, x<3, x>8. По полученному решению задачи построить график температуры в стержне в момент времени t=30 сек. Можно использовать при этом таблицу значений интеграла вероятностей.

Ответ

ux,t=32erfx-32at+erf8-x2at.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем решение задачи Коши с помощью формулы Пуассона
ux,t=12aπt-∞+∞φξe-x-ξ24a2tdξ,
Тогда
ux,t=12aπt-∞+∞φξe-x-ξ24a2tdξ=12aπt383∙e-x-ξ24a2tdξ=замена:z=ξ-x2atdξ=2atdz=
=32aπt3-x2at8-x2ate-z22atdz=3π3-x2at0e-z2dz+08-x4te-z2dz=В первоминтеграле заменаz→-z=
=3π0-3+x2ate-z2dz+08-x2ate-z2dz=
Используя функцию ошибок (интеграл вероятности)
erfx=2π0xe-z2dz,
получим
=3ππ2erfx-32at+π2erf8-x2at=32erfx-32at+erf8-x2at.
Распределение температуры в стержне в момент времени t=30 сек представлено на рисунке

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу