Решить разностное уравнение второго порядка.
xn+2+17xn+1+66xn=504n+1038; x0=28; x1=-115.
Частное решение находится двумя способами:
а) методом неопределенных коэффициентов.
б) методом Лагранжа
Решение
Дано линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
xn+2+17xn+1+66xn=504n+1038
Составим характеристическое уравнение и решим его
λ2+17λ+66=0
D=172-4∙66=289-264=25; λ1,2=-17±252
λ1=-11 и λ2=-6
Получаем общее решение однородного уравнения
xn0=C1∙-11n+C2∙-6n
Частное решение найдем методом неопределенных коэффициентов в виде
xn1=A∙n+B
Подставляем xn в уравнение
An+2+B+17An+1+B+66An+B=504n+1038
An+2+B+17An+1+17B+66An+66B=504n+1038
An+2A+B+17An+17A+17B+66An+66B=504n+1038
A+17A+66An+2A+B+17A+17B+66B=504n+1038
84A∙n+19A+84B=504n+1038
Следовательно, имеем
84A=50419A+84B=1038A=6114+84B=1038A=6B=11
и получаем частное решение
xn1=6n+11
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения примет вид
xn=xn0+xn1
xn=C1∙-11n+C2∙-6n+6n+11
Теперь для нахождения частного решения воспользуемся методом Лагранжа.
Имеем xn0=C1∙-11n+C2∙-6n, γ1=-11, γ2=-6
Будем считать, что C – это функция, зависящая от n.
Тогда общим решением заданного уравнения является выражение
xn=C1n∙-11n+C2n∙-6n
Для определения функций C1n и C2n имеем систему уравнений:
∆C1n∙γ1 n+1+∆C2n∙ γ2n+1=0∆C1n∙γ1 n+2+∆C2n∙ γ2n+2=504n+1038
Умножим первое уравнение на γ2 и получим:
∆C1n∙γ1n+1γ1- γ2=504n+1038
∆C1n=504n+1038γ1γ1-γ2∙1γ1n
∆C2n=504n+1038γ2γ2-γ1∙1γ2n
Далее находим C1n и C2n:
C1n=C10+1γ1γ1-γ2k=0n-1504k+1038∙1γ1k
C2n=C20+1γ2γ2-γ1k=0n-1504k+1038∙1γ1k
Рассмотрим числовые последовательности в общем виде
k=0n-1504k+1038∙ak=a1=1γ1 или a2=1γ2=504k=0n-1k∙ak2+1038k=0n-1ak1
1→k=0n-1ak=1-an1-a=1-an1-a1-a2=1-a-an+an+11-a2
2→k=0n-1k∙ak=1-ak+1a1-ak-10n-1a1-ak=0n-11-ak+1=1-an+1a1-an-1+
+1a-na1-a+11-ak=0n-1ak=n-1-nan+1+an+1a1-a+1a-na1-a+1-an1-a2=
=nan+1-an+1-nan+a1-a2
k=0n-1504k+1038ak=504nan+1-an+1-nan+a1-a2+10381-a-an+an+11-a2=
=504nan+1-504an+1-504nan+504a+1038-1038a-1038an+1038an+11-a2
=504n+534an+1-504n+1038an-534a+10381-a2
Теперь вернёмся к C1n, то есть имеем
C1n=C10+1γ1γ1-γ2k=0n-1504k+1038∙1γ1k
C1n=C10+504n+534a1n+1-504n+1038a1n-534a1+1038γ1γ1-γ2∙1-a12
Пример C10=534a1-1038γ1γ1-γ2∙1-a12, тогда
C1n=504n+534a1n+1-504n+1038a1nγ1γ1-γ2∙1-a12
C1n=504n+534a1n+1-504n+1038a1n-11∙-5∙1-a12
Теперь вернёмся к C2n, то есть имеем при C20=534a2-1038γ2γ2-γ1∙1-a22
C2n=C20+1γ2γ2-γ1k=0n-1504k+1038∙1γ1k
C2n=534a2-1038γ2γ2-γ11-a22+504n+534a2n+1-504n+1038a2n-534a2+1038γ2γ2-γ1∙1-a22
C2n=504n+534a2n+1-504n+1038a2nγ2γ2-γ1∙1-a22
C2n=504n+534a2n+1-504n+1038a2n-6∙5∙1-a22
Далее учитывая, что γ1=-11, γ2=-6, а значит a1=1-11 и a2=1-6, тогда a1n=-11-n и a2n=-6-n
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
