Решить краевую задачу в концентрическом кольце ∆u=0

Запишем уравнение в полярных координатах. Имеем следующую задачу Дирихле в кольце
∆u≡1r∂∂rr∂u∂r+1r2∂2u∂φ2=0, r1<r<r2, 0≤φ<2π.
(1)
с граничными условиями
urr1,φ-hur1,φ=Acosφ, urr2,φ=0, hr1=p.
(2)
По смыслу задачи решение должно быть периодическим по углу φ
ur,φ+2π=ur,φ.
(3)
Для решения задачи (1) − (3) применим метод Фурье разделения переменных. Ищем нетривиальное решение уравнения (3) в виде
ur,φ=ZrΦφ.
Подставляем ur,φ в таком виде в (1)
1r∂∂rr∂ZrΦφ∂r+1r2∂2ZrΦφ∂φ2=0
Учитывая, что Zr, Φφ – функции только одного аргумента, получим
ΦφrddrrdZrdr+Zrr2d2Φφdφ2=0.
Умножим это уравнение на r2ZrΦφ
rZrddrrdZrdr=-1Φφd2Φφdφ2=λ=const,
поскольку левая часть равенства – это функция только от r, а правая часть –только от φ.
В результате переменные разделились, получили два обыкновенных дифференциальных уравнения
Φ''(φ)+λΦφ=0,
(4)
rddrrdZrdr-λZr=0,
r2Z''r+rZ'r-λZr=0.
(5)
Из условия периодичности (3) функции ur,φ следует периодичность функции Φφ
Φφ+2π=Φφ.
(6)
Общее решение уравнения (4) имеет вид
Φφ=Acosλφ+B sinλφ.
Из условия периодичности (6) следует, что λ=n, n=0,1,2,…
Получили следующую систему собственных функций
Φnφ=Ancosnφ+Bn sinnφ, n=1,2,…
Φ0φ=A0
Уравнение (5) при n>0 имеет вид
r2Zn''r+rZn'r-n2Znr=0.
Это уравнение Эйлера второго порядка, его решение ищем в виде Znr=rα . Подставляем в уравнение
r2αα-1rα-2+rαrα-1-n2rα=0.
α2=n2 ⇒ α=±n.
Следовательно, радиальные собственные функции при n>0 будут
Znr=Cnr-n+Dnrn.
При n=0 уравнение (7) примет вид
rZ0'r'=0 ⇒ rZ0'r=C0 ⇒ Z0'r=C0r ⇒
Z0r=C0lnr+D0.
Решение задачи (1) − (3) записывается в виде ряда
ur,φ=n=0∞ZnrΦnφ=
=A0C0lnr+D0+n=1∞Cnr-n+Dnrn⋅Ancosnφ+Bn sinnφ.
Обозначим
A0C0=A0, A0D0=B0, CnAn=An, DnAn=Bn, CnBn=Cn, DnBn=Dn,
получим
ur,φ=A0lnr+B0+n=1∞Anr-n+Bnrncosnφ+Cnr-n+Dnrnsinnφ.
Неизвестные коэффициенты A0,B0,An, Bn, Cn, Dn этого ряда найдем из граничных условий (2)
urr,φ=A0r+n=1∞n-Anr-n-1+Bnrn-1cosnφ+n-Cnr-n-1+Dnrn-1sinnφ.
urr1,φ-hur1,φ=
=A0r1+n=1∞n-Anr1-n-1+Bnr1n-1cosnφ+n-Cnr1-n-1+Dnr1n-1sinnφ-
-hA0lnr1+B0-hn=1∞Anr1-n+Bnr1ncosnφ+Cnr1-n+Dnr1nsinnφ=Acosφ,
urr2,φ=A0r2+n=1∞n-Anr2-n-1+Bnr2n-1cosnφ+n-Cnr2-n-1+Dnr2n-1sinnφ=0.
Учитывая полноту системы тригонометрических функций 1, cosnφ, sinnφn=1∞ и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях из первого соотношения получим
A0r1-hA0lnr1+B0=0,
-A1r1-2+B1-hA1r1-1+B1r1=0,
n-Anr1-n-1+Bnr1n-1-hAnr1-n+Bnr1n=0, n≠1,
n-Cnr1-n-1+Dnr1n-1-hCnr1-n+Dnr1n=0 n=1,2,…
из второго соотношения следует
A0r2=0,
n-Anr2-n-1+Bnr2n-1=0 n=1,2,…,
n-Cnr2-n-1+Dnr2n-1=0 n=1,2,…
Получили следующие системы уравнений
A0r1-hA0lnr1+B0=0A0r2=0
-A1r1-2+B1-hA1r1-1+B1r1=A-A1r2-2+B1=0
Для остальных коэффициентов имеем однородные системы
n-Anr1-n-1+Bnr1n-1-hAnr1-n+Bnr1n=0 n-Anr2-n-1+Bnr2n-1=0 n≠1
n-Cnr1-n-1+Dnr1n-1-hCnr1-n+Dnr1n=0n-Cnr2-n-1+Dnr2n-1=0 n=1,2,…
Их решения нулевые:
An=0, Bn=0 n≠1, Cn=0, Dn=0 n=1,2,…
Решая систему
1+pA1+p-1r12B1=-Ar12A1-B1r22=0
находим
A1=Ar12r221-pr12-1+pr22, B1=Ar121-pr12-1+pr22.
Таким образом, общее решение исходной задачи ur,φ имеет вид
ur,φ=A1r-1+B1rcosφ=
=Ar12r221-pr12-1+pr22∙1r+Ar121-pr12-1+pr22rcosφ=
=Ar12r2+r22cosφ1-pr12-1+pr22r.
Ответ:
ur,φ=Ar12r2+r22cosφ1-pr12-1+pr22r.