Решить задачу о распространении тепла в однородном стержне длиной L=3 с теплоизолированной боковой поверхностью

Имеем следующую задачу:
Ut=a2Uxx,0<x<3,t>0Ux,0=3x-3Ux0,t-2U0,t=A,U3,t=0
Решение задачи представим суммой функций ux,t=u2x,t+u1x,t, где u2x,t=a1x+a0 подберем таким образом, чтобы она отвечала заданным граничным условиям. Тогда: ddxu2x,t=a1 и из граничных условий получаем:
a1-2a0=A3a1+a0=0 a1=A7a0=-3A7
Получили:
u2x,t=Ax-37
Тогда, с учетом того, что:
d2dx2u2x,t=ddtu2x,t=0
Получаем следующую задачу для функции u1x,t:
Ut=a2Uxx,0<x<3,t>0Ux,0=3-A7x-3Ux0,t-2U0,t=0,U3,t=0
Согласно методу Фурье решение уравнения будем искать в виде произведения двух функций:
u=ux,t=X(x)T(t)
Подставляем в уравнение:
XxT't=a2X''(x)T(t)
X''xX(x)=T'ta2T(t)
Имеем тождественное равенство двух функций, зависящих от разных переменных. Значит, каждая из этих функций есть константа:
X''xX(x)=T'ta2T(t)=λ=const
Данное соотношение равносильно системе уравнений:
X''x-λXx=0T't=λa2T(t)
Граничные условия для u=XxTt дают: X'0-2X0Tt=0,X3Tt=0 . Значит X'0-2X0=X3=0. Т.е. нам требуется найти ненулевые решения уравнения
X''x-λXx=0; X'0-2X0=X3=0
Уравнение – линейное уравнение с постоянными коэффициентами, его характеристическое уравнение:
k2-λ=0
Рассматриваем возможные случаи:
А) λ=0
Тогда k1,2=0 и общее решение уравнения Xx=c1x+c2.
Находим производную: X'x=c1 и пытаемся удовлетворить краевым условиям X'0-2X0=X3=0:
c1-2c2=03c1+c2=0 c1=c2=0
Поскольку получаем только тривиальное решение Xx≡0, то λ=0 отбрасываем.
Б) λ>0
Тогда k1,2=±λ и общее решение уравнения Xx=c1eλx+c2e-λx.
Находим производную: X'x=c1λeλx-c2λe-λx и пробуем удовлетворить краевым условиям X'0-2X0=X3=0:
c1λ-2-c2(λ+2)=0c1e3λ+c2e-3λ=0
Получаем опять же c1=c2=0, поэтому λ>0 отбрасываем.
В) λ<0
Тогда k1,2=±i-λ и общее решение уравнения
Xx=c1cos⁡(-λx)+c2sin⁡(-λx)
Находим производную: X'x=--λc1sin⁡(-λx)+-λc2cos⁡(-λx) и пробуем удовлетворить краевым условиям X'0-2X0=X3=0:
-λc2-2c1=0c1cos3-λ+c2sin3-λ=0
Выражая из первого: c1=-λ2c2 и подставляя во второе:
-λ2c2cos3-λ+c2sin3-λ=0
Получаем:
-λcos3-λ+2sin3-λ=0
Т.е