Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.
Предприятие располагает несколькими группами невзаимозаменяемого оборудования, на котором может быть изготовлено три наименования изделий.
Составить план производства изделий, обеспечивающий максимальную прибыль реализуемой продукции.
Трудоемкость изделий, фонд полезного времени каждой группы оборудования и прибыль (руб.) от реализации единицы готового изделия каждого вида приведены в следующей таблице:
Изделия оборудования 1 2 3 Фонд рабочего времени
А
Б
В
Г 2
1
0
3 3
0
4
1 1
1
6
0 240
180
200
160
Прибыль 3 5 4
Ответ
Таким образом, для достижения максимальной прибыли от реализации готовых изделий в размере 360 руб., необходимо произвести 36,7 изделий первого наименования, 5 изделий второго наименования, при этом производить изделия третьего наименования в данном случае нецелесообразно.
Решение
Пусть
х1 – количество изделий первого наименования,
х2 – количество изделий второго наименования,
х3 – количество изделий третьего наименования.
Тогда 2х1+3х2+х3 - количество затраченного полезного времени на производство изделий оборудованием А,
х1+х3- количество затраченного полезного времени на производство изделий оборудованием Б,
4х2+6х3- количество затраченного полезного времени на производство изделий оборудованием В,
3х1+х2- количество затраченного полезного времени на производство изделий оборудованием Г.
Целевая функция экономико-математической модели, выражающая максимальную прибыль реализуемой продукции:
Z=3x1+5x2+4x3→max
По условию задачи запас фонда полезного времени оборудования ограниченный, что позволяет составить следующую систему ограничений:
2х1+3х2+х3≤240х1+х3≤1804х2+6х3≤2003х1+х2≤160
По смыслу задачи: х1≥0,х2≥0,х3≥0.
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x4
. В 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x6. В 4-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7. Таким образом получим следующую систему уравнений:
2х1+3х2+х3+х4=240х1+х3+х5=1804х2+6х3+х6=2003х1+х2+х7=160
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5, x6, x7. Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X0 = (0,0,0,240,180,200,160).
Текущий опорный план является оптимальным тогда, когда в индексной строке отсутствуют отрицательные коэффициенты.
В случае если план не является оптимальным, определяется новая базисная переменная: в качестве ведущего выбирается столбец, соответствующий переменной, при которой находится наибольший коэффициент по модулю. Затем определяется новая свободная переменная (ведущая строка), как частное от деления: bi / ai, из которых выбирается наименьшее значение. Разрешающий элемент находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Вместо переменной ведущей строки в новый план войдет переменная ведущего столбца. Строка, соответствующая переменной ведущего столбца в новом плане, высчитывается в результате деления всех элементов ведущей строки исходного плана на разрешающий элемент
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
