Решить задачу Коши y''-4y'+3y=-3e2x y0=0

Сначала найдём общее решение соответствующего однородного уравнения, для этого составим характеристическое уравнение и найдём его корни:
k2-4k+3=0
D=16-4*1*3=16-12=4
k1=4-22=22=1
k2=4+22=62=3
Так как получены различные действительные корни, общее решение однородного уравнения выглядит так:
yо=C1ex+C2e3x
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
y=Ae2x
Найдём первую и вторую производную от данного выражения:
y'=2Ae2x
y''=4Ae2x
Подставляем в уравнение:
4Ae2x-8Ae2x+3Ae2x=-3e2x
-Ae2x=-3e2x
Получаем уравнение:
-A=-3
A=3
Тогда частное решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=3e2x
Общее решение неоднородного уравнения выглядит так:
y=yо+y=C1ex+C2e3x+3e2x
Далее найдём первую производную от полученного общего решения:
y'=C1ex+3C2e3x+6e2x
Теперь применим первое начальное условие:
y0=C1+C2+3=0
Применим второе начальное условие:
y'0=C1+3C2+6=0
Получили систему уравнений:
C1+C2+3=0C1+3C2+6=0→C1+C2=-3C1+3C2=-6
Решив данную систему, получим, что:
C1=-32; C2=-32
Тогда решение задачи Коши выглядит так:
y=-3ex2-3e3x2+3e2x